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Aufgabe: Irreduzibel ja oder nein? Alle Ideale finden.



Problem/Ansatz:

a) Ist 29Z + 13 in Z/29Z irreduzibel? Finde alle Ideale in Z/29Z.


Ich vermute nicht, da ich denke, dass es eine Einheit ist. Ist (29Z +13Z)*(29Z-13)=1


Da alle Ideale in  Z/29Z durch eine Primzahl erzeugt werden, sind die Ideale (2Z, 5Z,7Z, .. bis 29Z) Ist das richtig?

Und hätte ich jetzt 29Z + 14 als Beispiel, ist das dann nicht mehr irreduzibel, da ich 14 ja zerlegen kann?


b) Ist x²-13x in Z[x] irreduzibel? Und in Q[x] ?

Jeweils nicht irreduzibel, da ich zerlegen kann in x(x-13) und das lösbar ist.


Aber was sind jetzt alle Ideale?


Besten Dank für eure Kommentare.

Avatar von

29 ist doch eine Primzahl. Was weißt du dann über ℤ/29ℤ?

Ja, ich glaub der Anstoß war gut. Da ℤ/29ℤ ein Körper ist und Körper nur aus Einheiten bestehen, kann 29Z + 13 nur eine Einheit sein, richtig?

Körper nur aus Einheiten bestehen,

Zumindest bis auf die 0.

Ja 13 + 29ℤ ist eine Einheit. Das Inverse ist aber 9 + 29ℤ nicht -13 + 29ℤ = 16 + 29ℤ.

Weißt du wie die Ideale eines Körpers aussehen?

b) ist richtig

Okay, da wir ja in einem Körper leben, hab ich das Nullideal und den ganzen Ring als Ideal.

Danke, ich denke die Aufgabe habe ich vollständig verstanden.

Genau, da liegst du richtig :)

Ist I ein Ideal in ℤ/nℤ so existiert ein k | n (also ein Teiler von n) mit I=(k). Die nichttrivialen Ideale werden also von den Nullteilern erzeugt. Das kannst du dir vielleicht mal als Übungsaufgabe überlegen.

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