Eine Folge (zn) in C heisst Cauchy-Folge, wenn gilt ...?

Question

Eine Folge (z_n) in C heit Cauchy-Folge, wenn gilt:
Zu jedem e > 0 gibt es ein N € IN, so dass |z_n - z_m| < e für alle n,m >= N .
(a) Sei (z_n) eine Folge in C und z_n = x_n + iy_n mit x_n, y_n € IR. Zeigen Sie, dass (z_n) genau dann Cauchy-Folge ist, wenn (x_n) und (y_n) Cauchy-Folgen sind.
(b) Führen Sie den Beweis des Cauchy-Kriteriums in C (§5, Satz 3) aus.

Wäre super, wenn jemand beide Aufgaben lösen könnte, da ich mit Buchstaben und Variablen in Mathe sehr, sehr mies bin. Wüsste nichtmal wo ich bei der a) anfangen soll.

Comments

genau bei der Aufgabe hab ich auch meine probleme..Hilfe^^

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ich habe auch Probleme mit der Aufgabe, kann jemand bitte helfen. danke

Answer 1

Du musst hier zwei Richtungen zeigen:

1. Sei (z_n) eine Cauchy-Folge in ℂ ⇒ [...] ⇒ (x_n) und (y_n) sind Cauchy-Folgen in ℝ.

2. Seien (x_n) und (y_n) Cauchy-Folgen in ℝ ⇒ [...] ⇒ (z_n) ist eine Cauchy-Folge in ℂ.

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habs auch so gelöst wie du. Aber ist das denn  die Antwort für a und b? Weil ich hatte das gelcihe wie du bei der a hingeschrieben, hab mir dann die b angeguckt, und mir ist aufgefallen, dass das ja eigentlich nochmal das gleiche gewesen wäre, oder vertue ich mich da? Also jetzt ist ehh zu spät, habs vorhin eingeworfen, interessieren würde es mich trotzdem :D

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Das ist ja klar, hilft aber nicht wirklich. Das Hauptproblem bei mir ist halt, dass (zn) eine komplexe und keine reelle folge ist.

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Du setzt für (z_n)=x_n+iy_n ein, dann kommst du ganz schnell auf das, was du zeigen willst.