Aufgabe:
Die Spur einer n×n-Matrix A ist definiert durch
Spur A = n∑k=1 akk.
a) Geben Sie ein Beispiel für A,B∈M(n,K) an mit Spur(AB) ≠ Spur(A)·Spur(B).
b) Zeigen Sie, dass für alle A,B∈M(n,K) gilt Spur(AB) = Spur(BA).
c) Folgern Sie aus b), dass ähnliche Matrizen und somit alle Matrixdarstellungen eines Endo-morphismus L:V→V dieselbe Spur haben, die wir dann ebenfalls mit Spur L bezeichnen.
d) Seien nun m Matrizen A1,...,Am ∈ M(n,K) gegeben. Folgern Sie aus b), dass Spur(A1A2···Am) = Spur(AmA1···Am−1).Man sagt dazu, die Spur sei invariant unter zyklischer Vertauschung der Faktoren.
