Divison Komplexer Zahlen (Lösung bestätigen)

Question

Aufgabe:

z1 = 2 ∠(3π/4)

z2 = 3 ∠(7π/6)

Berechnen \( \frac{z1}{z2} \)

Problem/Ansatz:

Polarform: \( \frac{2}{3} \) ∠(-5π/12)

Kartesische Form : \( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6} \) - \( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{6} \)*i

Finde leider keinen Rechner mit dem ich mein Ergebnis Prüfen kann, also wollte ich nur Fragen ob das richtig ist.

Rechenweg:

\( \frac{2}{3} \) ∠(-75) , nach der Regel \( \frac{z1}{z2} \) = \( \frac{a1}{a2} \)  ∠ (α1 - α2)

= \( \frac{2}{3} \) * ( cos(-75) + i * sin(-75))

= \( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6} \) - \( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{6} \)*i

Wäre die Multiplikation nach der Regel auch richtig?

z1*z2 = a1*a2 ∠(α1 + α2)

Answer 1

Aloha :)

$$z_1=2e^{i\,3\pi/4}\quad;\quad z_2=3e^{i\,7\pi/6}$$

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{2e^{i\,3\pi/4}}{3e^{i\,7\pi/6}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{e^{i\,3\pi/4}}{e^{i\,7\pi/6}}=\frac{2}{3}\cdot e^{i\,3\pi/4}\cdot e^{-i\,7\pi/6}=\frac{2}{3}\cdot e^{i\pi\left(\frac{3}{4}-\frac{7}{6}\right)}$$$$\phantom{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{2}{3}\cdot e^{i\pi\left(\frac{9}{12}-\frac{14}{12}\right)}=\frac{2}{3}\cdot e^{-i\,\frac{5}{12}\,\pi}=\frac{2}{3}\left(\cos\left(\frac{5}{12}\pi\right)-i\sin\left(\frac{5}{12}\pi\right)\right)$$$$\phantom{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{2}{3}\left(\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}-i\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}\right)=\frac{1}{3\sqrt2}\left((\sqrt3-1)-i(\sqrt3+1)\right)$$$$\phantom{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\sqrt2}{6}\left((\sqrt3-1)-i(\sqrt3+1)\right)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{6}-i\,\frac{\sqrt6+\sqrt2}{6}$$Das stimmt mit deinem Ergebnis überein ;)

Answer 2

2·EXP(3/4·pi·i)/(3·EXP(7/6·pi·i)) = 2/3·EXP((3/4 - 7/6)·pi·i) = 2/3·EXP((- 5/12)·pi·i) = √6/6 - √2/6 - i·(√6/6 + √2/6)

Damit ist deine Rechnung richtig.