Ableitung der Integralfunktion an Stelle x

Question

und zwar geht es um folgendes Problem:

Man soll die Ableitung der Integralfunktion I(X)=S((sin(4t))/t)dt an der Stelle x berechnen. Die Integralgrenzen lauten 2x(u.G) und 5x^2(o.G.).

Normalerweise müsste ja die Ableitung des Integrals die zu integrierende Fkt. sein, das scheint hier allerdings nicht der Fall zu sein. Ich wäre dankbar wenn mir das mal jmd. erklären könnte, ich verzweifel hier sonst noch.

Danke euch im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Nimm an, du hättest bereits eine Stammfunktion \(F(t)\) zu \(f(t)=\frac{\sin(4t)}{t}\). Dann wäre die Ableitung des Integrals:$$\frac{d}{dx}\left(F(5x^2)-F(2x)\right)=F'(5x^2)\cdot10x-F'(2x)\cdot2=f(5x^2)\cdot10x-f(2x)\cdot2$$Mit dieser Überlegung kannst du dir die Berechnung des Integrals sparen:$$\frac{d}{dx}\int\limits_{2x}^{5x^2}\frac{\sin(4t)}{t}\,dt=\frac{\sin(5x^2)}{5x^2}\cdot10x-\frac{\sin(2x)}{2x}\cdot2=\frac{2\sin(5x^2)}{x}-\frac{\sin(2x)}{x}$$

Comments

okay soweit so klar.

Wenn ich jetzt dann das Integral  S(ln(t^2)/t)dt mit den Grenzen (8=uG) und (x=0G) habe und das Integral an der Stelle 8 berechnen soll... Muss meines Erachtens 0 rauskommen....

Nur das scheint leider falsch.

Allerdings wenn mein Integral von 8 bis 8 geht, muss doch 0 rauskommen?

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Nach dem Wert des Integrals hattes du nicht gefragt, es ging um den Wert der Ableitung des Integrals nach \(dx\).

Das Integral von 8 bis 8 muss Null sein, weil dann \(dt=0\) ist. Das Integral von 8 bis 0 über \(\frac{\ln(t^2)}{t}\) müsste man ausrechnen. Ich vermute jedoch, dass das nicht existiert, weil da ein Grenzwert vorkommt, der nicht konvergiert.

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 Wenn ich das Integral S(ln(t2)/t)dt mit den Grenzen (8=uG) und (x=0G) habe, wie groß wäre dann der Wert der Ableitung des Integrals an der Stelle 8? Wäre der dann nicht 0? Wenn nein, wie ginge das dann zu berechnen? 

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Das Integral existiert nicht, deswegen kannst du es auch nicht ableiten:

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Auch wenn die Obergrenze x und nicht 0 beträgt?

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Ah, du meinst:$$\frac{d}{dx}\int\limits_8^x\frac{\log(t^2)}{t}dt=\frac{\log(x^2)}{x}\cdot1-\frac{\log(8^2)}{8}\cdot0=\frac{2\log x}{x}$$Auch hier bekommst du mit \(x=0\) Probleme, weil der Zähler gegen \(-\infty\) und der Nenner gegen \(0\) laufen.

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Danke, so sehe ich das eigentlich auch.... nur die Seite sieht das anders und gibt mir das als falsch an :( Tzd. danke für deine Geduld. :D

Ich versuche es dann bei den anderen Aufgaben einmal selbst :D

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wie groß wäre dann der Wert der Ableitung des Integrals an der Stelle 8?

ist von euch beiden nicht diskutiert worden.

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Ja, aber den Wert 8 einzusetzen, habe ich gerade noch geschafft :D