Integralfunktion, Ableitung, Intgrandenfunktion

Question

Integralfunktion:

\( F_{a}(x)=\int \limits_{a}^{x}\left(2 t^{2}+4 t\right) d t \)

1. Explizite Angabe des Funktionsterms

2. Zeigen, dass die Ableitung gleich dem Term der Intengrandenfunktion ist.

3. Sei a = 0. Für welche Werte x gilt dann F₀ (x) = 4/3

4. Für welchen Wert a hat F_a(x) bei x = 2 eine Nullstelle

Leider komme ich bei der Aufgabe leider gar nicht weiter und wäre für jegliche Hilfestellungen äußerst dankbar.

Answer 1

F_a(x) =   (2/3 x^3 + 2x^2 ) - ( 2/3 a^3 + 2a^2 )

==> F ' _a (x)  = 2x^2 + 4x

F ₀ (x) = 4/3  <=>   2/3 x^3 + 2x^2   = 4/3

                     <=>   x^2 + 2x  - 2/3    = 0

                   <=>     x =   -1    oder   x = -1 ±√3

F_a(2) = 0 <=>     (2/3 * 2^3 + 2* 2^2 ) - ( 2/3 a^3 + 2a^2 )  = 0

                                         2/3 a^3 + 2a^2 - 40/3   = 0

                                              einzige Lösung a= 2.