Wie kann ich hier die globalen Extrema nachweisen? f(x,y):= 6x^(1/2)y^(1/3) - 3x - y

Question

Hi, ich versuche gerade die globalen Extrema dieser Funktion zu bestimmen und habe als einzige Extrema, dass sich als Maximum entpuppt den Punkt (4,8) raus. Das sollte auch nach Wolframalpha so richtig sein und ich habe da auch gesehen, dass es sich um ein globales Maximum handeln muss.

\( (x, y) \mapsto f(x, y):=6 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}-3 x-y \)

Ich weiß dass ich im grunde zwei Möglichkeiten habe, dass zu zeigen. Zunächst mit der Taylorreihe, aber da weiß ich nicht wie mir die TR helfen soll? Was müsste ich da genau angucken?

Und die zweite Möglichkeit wäre ja, dass ich das Grenzwverhalten untersuche. Da würde ich nun so vorgehen, dass ich diese verschiedenen Möglichkeiten betrachte:

$$\lim\limits_{x\to\infty},\lim\limits_{y\to\infty},\lim\limits_{x\to-\infty},\lim\limits_{y\to-\infty},\lim\limits_{x\to0},\lim\limits_{y\to0}$$

aber irgendwie kommt mir dass so vor, als wäre das zu umständlich....

VG

Answer 1

Habt ihr nicht die Bestimmung über die Hesse-Matrix kennengelernt?

f(x, y) = 6·x^(1/2)·y^(1/3) - 3·x - y

Gradient

f'(x, y) = [3·y^(1/3)/√x - 3, 2·√x/y^(2/3) - 1] = [0, 0] → x = 4 ; y = 8

Hesse-Matrix

f''(x, y) = [- 3·y^(1/3)/(2·x^(3/2)), 1/(√x·y^(2/3)); 1/(√x·y^(2/3)), - 4·√x/(3·y^(5/3))]

f''(4, 8) = [- 3/8, 1/8; 1/8, - 1/12] → negativ definit → Maximum

Comments

Das trifft nicht den Kern der Frage. Eine negativ definitite Hessematrix liefert "nur" ein striktes lokales Maximum, nicht etwa ein globales!

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Bei zweidimensionalen Funktionen kennst du dich sicher besser aus.

Wenn ich bei einer eindimensionalen Funktion in einem Intervall ein Maximum aber kein Minima habe, dann kann es auch kein Randmaxima geben. Ist das hier nicht eigentlich genau so? Ich hatte hier ja keine andere kritische Stelle außer das eine Maximum.

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Von welchem Definitionsbereich sprichst du denn? Ich hätte gedacht, dass f auf \((0,\infty)\times (0,\infty)\) definiert ist. Das \(x\) ist ja notwendig größer gleich 0 wegen der Wurzel. Dann wäre f(0,0) ja ein Minimum.

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Aber interessante Frage, ich werde dem mal nachgehen.

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Ich denke wir sind uns einig dass der Definitionsbereich [0 ; ∞) × [0 ; ∞)  ist.

Weiterhin sind wir uns auch einig, dass wenn es ein globales Maximum, welches höher als das lokale Maximum ist, dies ein Randmaxima sein müsste.

Allerdings würde ich sagen das es dann irgendwo zwischen lokalem und Randmaxima wenigstens eine kritische Stelle geben sollte.

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Die Funktion ist nach unten unbeschränkt. Desweiteren ist

f(0,y)=-y

(0,0) kann daher kein Minimum sein.

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Da hast du recht jc2144, das war zu kurz gedacht von mir.

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Apropos, wir hatten uns zuvor aber auch [0,unendlich]x[0,unendlich] geeinigt. Damit ist f(0,0) doch ein Minimum, da x,y>=0 sein müssen.

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f(0, y) = -y

d.h.

f(0, 0) = 0

f(0, 0.001) = -0.001

Wie kann (0 | 0) dann ein Minimum sein?

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:P                            .

Answer 2

Hallo,

ja, du hast in der Tat in (4,8) ein lokales Maximum, das liefert dir die gewöhnliche Extremwertbetrachtung.

Zu zeigen ist nun, dass es sich eben in diesem Fall sogar um ein globales Maximum handelt.

f(4,8)=4

Du musst nun zeigen, dass 4≥f(x,y) für alle (x,y)∈(0,∞)x(0,∞).

Eine Idee, wie man abschätzt?