Funktion Grenzwert berechnen

Question

Ich müsste folgenden Grenzwert berechnen: $$\lim\limits_{x\to 1} \cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) \cdot \ln(1-x)$$ Ich habe schon versucht, das Produkt als Bruch zu schreiben, um dann L'hospital anzuwenden, aber das hat nie funktioniert. Wäre nett wenn mir irgendwer helfen könnte.

Comments

ln(x-1) = 1/(1/ln(x-1)) = 1/(-ln(x-1))

Answer 1

mit cos(pi*x/2)  /   ( 1 / ln(1-x) ) und de Hospital kommst du auf

pi/2 * sin(pi*x/2) * (x-1) * ln(1-x)^2

Und musst    (x-1) * ln(1-x)^2  =     ln(1-x)^2  /   (1 / (1-x) )

weiter mit  de Hospital untersuchen, also

2 ln(1-x) * (x-1)^(-1) /   (x -1)^(-2)   =  2ln(1-x)  /   (x-1)^(-1)

Nochmal de Hospital  gibt

 2(x-1) , also Grenzwert 0 und auch mit dem Teil pi/2 * sin(pi*x/2)

bleibt es bei 0. Siehe auch

https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=1168edfadbd4cb0a18f4ad402c28deb8