Auflösbarkeit , Beweis-Satz?

Question

Aufgabe:

Sei \( h \in C^{3}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}\right) \) eine Funktion, für welche die Gleichung \( h(x, y, z)=0 \) nach \( z \) aufgelöst werden kann, d.h.
$$ h(x, y, z(y, x))=0 $$
Wie zeige ich ,dass
$$ \frac{\partial}{\partial x} z=-\frac{\frac{\partial}{\partial x} h}{\frac{\partial}{\partial z} h} $$
und
$$ \frac{\partial}{\partial y} z=-\frac{\frac{\partial}{\partial y} h}{\frac{\partial}{\partial z} h} $$

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo,

0=dh=δh/δx dx+δh/δy dy +δh/δz dz

=δh/δx dx+δh/δy dy

+δh/δz (δz/δx dx +δz/δy dy)

--> 0=dh/dx =δh/δx +δh/δz *(δz/δx)

noch umstellen nach δz/δx

Comments

aber ich kriege nicht die gleiche Antwort wenn ich das umstelle!

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Wieso kriegst du das nicht hin?

0 =δh/δx +δh/δz *(δz/δx)

Nach dem roten Term umstellen ist nun wirklich nicht schwer.

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und eigentlich ich brauche einen Beweis für jede davon ∂z/∂x=−∂h/∂x/∂h/∂z und
∂z/∂y=−∂h/∂y/∂h/∂z , nicht allgemeinen Beweis.