Bestimme Art und Ort aller lokalen Extrema

Question

Aufgabe:

Bestimme Art und Ort aller lokalen Extrema:

a) f(x,y) = x² - 3xy + xy³ + 1

b) f(x,y) = (y - x²) · e^-2y

Problem/Ansatz:

Zu a)

Abgeleitet habe ich:

f_x = y3 - 3y + 2x ,      f_y = 3xy2 - 3x,      fxx = 2,    fyy = 6xy,      f_xy= 3y²-3

Das habe ich nach x umgeformt und in f_y eingesetzt. Aufgelöst ergab das für die Nullstellen von y:

y₁ = 0 ,y₂ = -1 , y₃ = 1 , y₄ = -\( \sqrt{3} \) , y₅ = +\( \sqrt{3} \)

Jetzt stehe ich auf dem schlauch. Wie kann ich jetzt die extrema rausfinden?  Die Nst von y in f_x oder in f(x,y) einsetzen?

zu b)

Abgeleitet:

f_x = -2xe^-2y ,      f_y = e^-2y(2x²-2y+1),      f_xx = -2e^-2y,    f_yy = 8x²-8y+4,      f_xy= 4xe^-2y

Auch hier komme ich nicht weiter. Ich bitte um Hilfe, die Aufgaben sind recht wichtig.

, d00mfish

Answer 1

f(x, y) = x^2 - 3·x·y + x·y^3 + 1
f'(x, y) = [2·x + y^3 - 3·y, 3·x·y^2 - 3·x]
f''(x, y) = [2, 3·y^2 - 3; 3·y^2 - 3, 6·x·y]

Extremstellen f'(x, y) = [0, 0]
3·x·y^2 - 3·x = 3·x·(y^2 - 1) = 0 → x = 0 ∨ y = ±1

Für x = 0
2·0 + y^3 - 3·y = 0 → y = 0 ∨ y = ±√3

Für y = 1
2·x + 1^3 - 3·1 = 0 → x = 1

für y = -1
2·x + (-1)^3 - 3·(-1) = 0 → x = -1

Das gibt die möglichen Extremstellen: (0 | 0) ; (0 | ±√3) ; (1 | 1) ; (-1 | -1)

f(0, 0) = 1
f(0, -√3) = 1
f(0, √3) = 1
f(1, 1) = 0
f(-1, -1) = 0

Jetzt sollte man noch die Art des Extremas bestimmen.

Comments

f(x, y) = (y - x^2)·e^(- 2·y)
f'(x, y) = [- 2·x·e^(- 2·y), e^(- 2·y)·(2·x^2 - 2·y + 1)]
f''(x, y) = [- 2·e^(- 2·y), 4·x·e^(- 2·y); 4·x·e^(- 2·y), - 4·e^(- 2·y)·(x^2 - y + 1)]

Extremstellen f'(x, y) = [0, 0]
- 2·x·e^(- 2·y) = 0 → x = 0

e^(- 2·y)·(2·0^2 - 2·y + 1) = 0 → y = 0.5

f(0, 0.5) = 1/(2·e) = 0.1839

Auch hier sollte noch die Art der kritischen Stellen bestimmt werden.