Aufgabe:
Sei \( K \) ein Körper und \( n \) eine natürliche Zahl.
(a) Für \( x_{1}, \ldots, x_{n} \in K \) und \( y_{1}, \ldots, y_{n} \in K \) definieren wir eine Matrix \( A_{n} \in \) \( K^{(n+1) \times(n+1)} \) durch
$$ A_{n}:=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & & & & x_{1} \\ & 1 & & & x_{2} \\ & & \ddots & & \vdots \\ & & & 1 & x_{n} \\ y_{1} & y_{2} & \dots & y_{n} & 0 \end{array}\right) $$
Außerhalb der Diagonalen und letzten Zeile und letzten Spalte sollen alle Einträge von \( A_{n} \) Null sein. Berechnen Sie det \( \left(A_{n}\right) \)
(b) Für \( a \in K \) definieren wir
$$ B_{n}=\left(\begin{array}{ccccc} a & 1 & \dots & \dots & 1 \\ 1 & a & 1 & \dots & 1 \\ 1 & \dots & \ddots & \dots & 1 \\ \vdots & \dots & \dots & \ddots & 1 \\ 1 & \dots & \dots & 1 & a \end{array}\right) \in K^{n \times n} $$
Zeigen Sie, dass \( \operatorname{det}\left(B_{n}\right)=(a-1)^{n-1}(a+n-1) \) für alle \( n \geq 1 \)
$$ 1 / 2 $$
