Richtungsableitungen berechnen, den grad bestimmen

Question

Gegeben seien u= 1/wurzel(13) \( \begin{pmatrix} 2\\3\\ \end{pmatrix} \)  , v=(1/5) \( \begin{pmatrix} 4\\-3 \end{pmatrix} \) € IR²

sowie die stetig differenzierbare Funktion f: R² -> R².

Weiter seien für einen Punkt alpha € R² die Richtungsableitungen ϑ_u f(a) = (54)/(wurzel(13)) und ϑ_v f(a) = 0 bekannt.

Berechnen Sie

grad f(a) =

Answer 1

Aloha :)

$$\vec u=\frac{1}{\sqrt{13}}\binom{2}{3}\quad;\quad \vec v=\frac{1}{5}\binom{4}{-3}\quad;\quad\partial_u f(\vec a)=\frac{54}{\sqrt{13}}\quad;\quad\partial_v f(\vec a)=0$$Da die Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) bereits auf die Länge \(1\) normiert sind, gilt:$$0=\partial_v f(\vec a)=\operatorname{grad}f(\vec a)\cdot\vec v\quad\Rightarrow\quad\operatorname{grad} f(\vec a)\perp\vec v\quad\Rightarrow\quad\operatorname{grad} f(\vec a)=c\cdot\frac{1}{5}\binom{3}{4}$$$$\frac{54}{\sqrt{13}}=\partial_u f(\vec a)=\operatorname{grad}f(\vec a)\cdot\vec u=c\cdot\frac{1}{5}\binom{3}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{13}}\binom{2}{3}=c\cdot\frac{18}{5\sqrt{13}}$$$$\Rightarrow\quad c=\frac{54}{\sqrt{13}}\cdot\frac{5\sqrt{13}}{18}=15$$$$\operatorname{grad}f(\vec a)=15\cdot\frac{1}{5}\binom{3}{4}=\binom{9}{12}$$

Comments

Super Vielen Dank

Richtig gutvnachvollziehbar :)