Aufgabe:
• Homogene, lineare DGL: Bestimmt zuerst a(t). Gebt x(t) ohne Integralzeichen an und maximal zusammengefasst.
• Inhomogene, lineare DGL: Bestimmt zuerst a(t) und b(t). Berechnet φ(t) ohne Integralzeichen. Berechnet danach x(t) ohne Integralzeichen.
• Homogene, Nichtlineare DGL: Bestimmt a(t) und g(t). Begründet, ob g(t) stetig im relevanten Bereich ist oder gebt den stetigen Bereich an. Gebt die Integralform an, da es keine Umkehrfunktion geben muss. Berechnet die Integrale.
Gebt nun x(t) an, falls eine Umkehrfunktion existiert.
a) Bestimmt neben der Lösung der DGL für beliebige t0 > −1 und x(t0) ≠ 0 auch die Stelle t1, wo x(t1) = 2 · x0 ist, falls eine solche Stelle existiert.
t · x'(t) + x'(t) − x(t) = 0, x(t0) = x0 ∈ ℝ_≠0, −1 < t0 ≤ t
b) Gebt am Ende der Aufgabe die Ableitung an der Stelle t1 = 2 an, also x'(2).
t · x'(t) − c · x'(t) − x(t) + d = 0, x(0) = 0, c, d ∈ ℝ_≠0, t ≥ 0
c) Berechnet zur Lösung alle regulären c ∈ ℝ, für die es eine reelle Lösung von x gibt. Gebt eine der möglichen Lösungen an, die einen positiven Bildbereich hat, also x : D → ℝ_≥0 erfüllt.
x'(t) − \frac{c}{x(t)} = 0, x(0) = 1, t ≥ 0
d) Löst erneut die Aufgabe und bestimmt x(t). Gebt danach den Bildbereich von x(t) an, für t ≥ 2π.
t · x'(t) − x(t) − t2 cos(t) = 0, x(2π) = 2π
Problem/Ansatz: Könnte mir bitte jemand diese Aufgaben ausführlich erklären oder für mich lösen? Ich verstehe es leider nicht so gut und bräuchte noch ein paar Punkte. Mir würde auch eine Lösung für eine oder zwei Aufgaben reichen, damit ich dann einen Ansatz für die weiteren Aufgaben habe.
