Polynom mit 2 reellen und 4 komplexen Nullstellen

Question

Aufgabe:

Beispiel geben für eine Polynomfunktion, die alle diese Eigenschaften besitzt:

- Funktion besitzt keine rationale Nullstellen

- Funktion besitzt genau zwei reelle Nullstellen

- die Funktion besitzt genau vier komplexe Nullstellen

mit Beweisen belegen

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß gar nicht wie ich da anfangen soll und wie man das löst, wäre für jede Hilfe dankbar!

Answer 1

$$f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, f(x)=(x-i)(x+i)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$$

Aus der Linearfaktorzerlegung folgen direkt die Nullstellen $$i,-i\in \mathbb{C}, \sqrt{2}, -\sqrt{2} \in \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}, \nexists t\in \mathbb{Q}: f(t)=0$$

Edit: Reelle Nullstellen sind auch komplexe Nullstellen.

Comments

klasse!! vielen Dank!!!

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ℝ ⊆ ℂ  ---------------------

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ℝ ⊆ ℂ

@Gast hj2166

Das stimmt natürlich. Habe es korrigiert, danke.

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kann man das denn nicht ohne ℝ ⊆ ℂ machen? ist das nicht trotzdem schon vollständig?

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kann man das denn nicht ohne ℝ ⊆ ℂ machen? ist das nicht trotzdem schon vollständig?

Die Aufgabe verlangte "genau 2 reelle Nullstellen" und "genau 4 komplexe Nullstellen". Ohne den Edit wären es 2 reelle und 6 komplexe Nullstellen.

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echt? wieso denn dann 6 komplexe ohne den Edit?

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echt? wieso denn dann 6 komplexe ohne den Edit?

$$\text{Es gilt } \sqrt{2},-\sqrt{2} \in \mathbb{R} \text{ aber auch } \sqrt{2} = \sqrt{2} + 0\cdot i, -\sqrt{2}=-\sqrt{2}+0\cdot i \in \mathbb{C}.$$

Das geht analog für jede reelle Zahl. Daraus folgt, dass jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahl ist (die komplexen Zahlen sind die Erweiterung der reellen Zahlen) und damit auch jede reelle Nullstelle eine komplexe.

$$\text{Vor dem Edit hatte ich noch } 2i, -2i\in \mathbb{C} \text{ als Nullstellen mit hinzugefügt. Dann hatte ich mit } i,-i,\sqrt{2},-\sqrt{2}\in \mathbb{C} \text{ insgesamt 6 komplexe Nullstellen.}$$

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ahhh, okay perfekt, daaanke dir!!

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wenn ihr Polynome könnt, könnt ihr mir bei der anderen Aufgabe auch helfen? :)

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Des verständnisses wegen: welche Parameter kann man skalieren, damit gleichviele zusammengesetzte Nullstellen herauskommen und warum

Answer 2

Der Schönheit wegen: $$y=x^4-4$$

Comments

dankeschöön :P

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inwiefern der schönheit wegen? wo kommt das denn hin??

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Ich finde das Polynom schön.

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toll, aber was soll sie mir sagen??

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Die Gleichung ist kurz und übersichtlich, das macht sie "schön".

Mit der dritten binomischen Formel sieht man schnell, dass die geforderten Bedingungen erfüllt sind.