Betragsgleichung mit 2 Beträgen

Question

Aufgabe:

Ich soll folgende Betragsgleichung lösen, weiß aber nicht ob ich auf dem richtigen Weg bin.

|x-1|+|2x+4|=6

Mein 1. Ansatz war Fallunterscheidungen zu machen

1. Fall x-1>=0 ; für x>=1
2. Fall 2x+4>=0; für x>=-2
3. Fall x-1<0 ; für x<1
4. Fall 2x+4<0 ; für x<-2

Jetzt würde ich die Gleichung wegen der positiven Terme folgendermaßen lösen

x-1+2x+4=6

3x+3=6

x=1

Die Lösung erfüllt die Bedingungen für die beiden ersten Fälle und gehört damit zur Lösungsmenge L1 = {1}

Für die Terme <0 würde ich die Gleichung folgendermaßen lösen

-(x-1)-(2x+4)=6

-3x-3=6

x=-3

Die Lösung erfüllt die Bedingungen für Fall 3 und 4 und gehört somit zur

Lösungsmenge L2 = {-3}

Lösungsmenge der Betragsgleichung L = {1 ; -3}

Answer 1

|x - 1| + |2x + 4| = 6

Die Nullstellen der Terme in den Beträgen sind 1 und -2

Daher würde ich die folgenden drei Fälle nehmen. Ich nehme persönlich hier immer kleiner, bzw. größer gleich. Das macht man normalerweise nicht ist aber auch nicht so wild.

Fall 1: x <= -2

-(x - 1) - (2x + 4) = 6 --> x = -3

Fall 2: -2 <= x <= 1

-(x - 1) + (2x + 4) = 6 --> x = 1

Fall 3: x >= 1

(x - 1) + (2x + 4) = 6 --> x = 1

Die Lösung ist daher: x = -3 ∨ x = 1

Comments

Vielen Dank ich glaube jetzt habe ich es verstanden. Wäre es falsch, wenn ich die Fallunterscheidung mache, wie ich es oben getan habe für jeden Betrag einzeln und dann als quasi 5. Fall -2<=x<=1 ?

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Wäre es falsch, wenn ich die Fallunterscheidung mache, wie ich es oben getan habe

Ja, Weil du brauchst eine genaue Unterscheidung wie beide Beträge zu behandeln sind. und daher muss der Fall auch beide Beträge klar eingrenzen.

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Ok. Noch eine Verständnisfrage.

Wieso untersucht man den Fall

(x-1)-(2x+4)=6

nicht?

1 <= x < -2

Ich blicke noch nicht ganz durch.

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1 <= x < -2

Kann x größer als 1 und gleichzeitig kleiner als -2 sein?

Da das offensichtlich nicht geht gibt es so einen Fall nicht.

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Oh man, na klar... hab ich nicht gesehen. Sorry ♀️

Danke für deine Hilfe

Answer 2

Hallo

eigentlich musst du noch den Fall -2<=x<=1 untersuchen, aber die Lösungsmenge bleibt gleich.

Gruß lul

Answer 3

|x-1| + |2x+4| = 6

Ab wann müssen die Betragsfunktionen anders behandelt
werden
x - 1 ≥ 0 => x ≥ 1
und
2x + 4 ≥ 0  => x ≥ -2

jetzt einen Zahlenstrahl zeichnen

    1                2                   3

-----------|----------------|----------------

            -2                  1

Es ergeben sich 3 Bereiche ( Fälle )
1 : x < -2
2 : -2 < x < 1
3 : x ≥ 1

Auf diese Art und Weise behält man besser den Überblick
Bin gern noch weiter behilflich falls nötig.

Comments

Das ist eine super Idee mit dem Zahlenstrahl. Vielen Dank.

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Gern geschehen.
Hat sich auch bewährt.