Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktion:

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktion:

f(x) =\( x^{x^{x}} \)

Ansatz:

Ich weiß was die Ableitung von \( x^{x} \) ist, allerdings weiß nicht welche Regeln ich jetzt für ein weiteres ^x nehmen muss.

Meine Vermutung ist die Kettenregel mit

\( x^{(x^{x})} \) 

Answer 1

Probier die Funktion umzuschreiben. Sollte wie bei der Funktion x^x Funktionieren nur, dass du das Verfahren 2 mal anwenden musst.

a^x kann man in exp(x*ln(a)) umschreiben

Answer 2

Hallo,

y =x^((x^x))

ln(y)=  ln (x^((x^x)))

ln(y)= x^x * ln(x)

y'/y= x^x (1/x +ln^2(x) +ln(x)) ->Produktregel für die rechte Seite

y'= (x^((x^x))) *(x^x (1/x +ln^2(x) +ln(x))

Answer 3

Aloha :)

Mit der Kettenregel liegt du vollkommen richtig. Betrachte dazu:

$$\left(f(x)^{g(x)}\right)'=\left(e^{\overbrace{g(x)}^{=u}\cdot\overbrace{\ln f(x)}^{=v}}\right)'=\underbrace{e^{g(x)\cdot\ln f(x)}}_{=\text{äußere}}\underbrace{\left(\overbrace{g'(x)}^{=u'}\cdot\overbrace{\ln f(x)}^{=v}+\overbrace{g(x)}^{=u}\overbrace{\underbrace{\frac{1}{f(x)}}_{=\text{äußere}}\,\underbrace{f'(x)}_{=\text{innere}}}^{=v'}\right)}_{=\text{innere}}$$$$\phantom{\left(f(x)^{g(x)}\right)'}=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\cdot\ln f(x)+g(x)\,\frac{f'(x)}{f(x)}\right)$$Damit bestimmen wir zuerst die Ableitung von \(x^x\), d.h. \(f(x)=x\) und \(g(x)=x\):$$(x^x)'=x^x\left(1\cdot\ln x+x\,\frac{1}{x}\right)=x^x(\ln x+1)$$Nun setzen wir \(f(x)=x\) und \(g(x)=x^x\) und erhalten:

$$\left(x^{x^x}\right)'=x^{x^x}\left(\underbrace{x^x(\ln x+1)}_{=g'(x)}\,\underbrace{\ln x}_{=\ln f(x)}+\underbrace{x^x}_{=g(x)}\,\underbrace{\frac{1}{x}}_{=f'(x)/f(x)}\right)$$$$\phantom{\left(x^{x^x}\right)'}=x^{x^x}\,x^x\left(\ln^2x+\ln x+\frac{1}{x}\right)$$$$\phantom{\left(x^{x^x}\right)'}=x^{x^x}\,x^{x-1}\left(x\ln^2x+x\ln x+1\right)$$$$\phantom{\left(x^{x^x}\right)'}=x^{x^x+x-1}\left(x\ln^2x+x\ln x+1\right)$$