Paramter bestimmen, damit Vektoren linear unabhängig sind

Question

Aufgabe:

Sämtliche x für die Vektoren linear unabhängig sind.

v= (2x, x) w=(x², x)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war:

1)  2xa+x²b=0

2)  xa+xb=0

Dann 1.) minus 2) → a(x)+b(x²-x)= 0

Dann x1=0 und mit pq formel= x2=1,5 und x3=0,5

Stimmt das ? Mit x2 und x3 sind die vektoren linear unabhängig aber mit 0 nicht. Jetz bin ich verwirrt

Answer 1

Aus 2) folgt a=-b oder x=0.

x=0 fällt weg, da die gegebenen Vektoren dann linear abhängig sind.

1) 2xa+x^2 b=0. |:x

-2b+bx=0

b(-2+x)=0

x=2

Für x=2 sind die Vektoren linear abhängig.

Deine Lösungen mit der pq-Formel kann ich nicht nachvollziehen.

Mit dem Ansatz v=rw erhält man r=1 und dann ebenfalls x=2.

Comments

Das Ergebnis hatte ich auch erst raus aber wenn ich das x in meine v und w einsetze komme ich bei x=2 auf v=(4,2) und w=(4,2) diese wären dann ja wieder linear abhängig. Bei x=1 dasselbe.

Oder bin ich jetzt total falsch?

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Upps, da habe ich mich missverstandlich ausgedrückt.

x=0  und x=2 sind die Werte, für die die Vektoren linear abhängig sind.

Fur alle anderen Werte sind sie linear unabhängig.

:-)

PS: Dein Ansatz prüft auf lineare Abhängigkeit.

Answer 2

Hallo

deine Rechnung zeigt doch dass für x=0 die Vektoren gleich. also abhängig sind. da die 2 te  Komponente sowieso gleich ist muss die erste verschieden sein also x^2≠2x oder x≠2, x≠0

also linear unabhängig. für alle x≠2 und 0

worauf du die pq Formel angewendet hast entgeht mir.

Gruß lul

Answer 3

Aloha :)

Die Determinate aus den Spaltenvektoren gibt die Größe der den beiden Vektoren aufgespannte Fläche an:$$F=\begin{vmatrix}2x & x^2\\x & x\end{vmatrix}=2x^2-x^3=x^2(2-x)$$Die aufgespannte Fläche ist genau dann Null, wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind. Das ist für \(x=0\) und \(x=2\) der Fall. Die beiden Vektoren sind also für alle \(x\in\mathbb R\setminus\{0;2\}\) linear unabhängig.