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Aufgabe:

$$ v_{1}(x, y)=\left(\begin{array}{c} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \varphi(x, y) \end{array}\right), \quad(x, y) \neq(0,0) $$
wobei \( \varphi(x, y) \) den Winkel zwischen der \( x \) -Achse und dem Punkt \( (x, y) \) in Bogenmaß beschreibt und
$$ v_{2}(x, y)=\left(\begin{array}{c} -\cos (y) \mathrm{e}^{x} \\ \sin (y) \mathrm{e}^{x}+4 y \end{array}\right) $$

(a) Prüfen Sie, ob die Integrabilitätsbedingung für \( v_{1} \) und \( v_{2} \) erfüllt ist.
(b) Bestimmen Sie ein Potential von \( v_{2} \)
(c) Berechnen Sie das Kurvenintegral 2. Art für beide Vektorfelder und die unten angegebene Kurve von (2,0) nach (-2,0) auf eine geeignete Weise. Hinweis: Nutzen Sie die Integrabilitätsbedingung.

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Problem/Ansatz:

Aufgabenteil a)
1. Wie kann ich beweisen, dass es sich bei diesem Vektorfeld um ein Gradientenfeld handelt, bezüglich des gegebenen Winkels?
Aufgabenteil c)
2. Wie kann ich hier das Kurvenintegral 2.Art von (2,0) bis (-2,0) berechnen?

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Vom Duplikat:

Titel: Vektorfeld Integrabilitätsbedingung überprüfen

Stichworte: bedingung,vektorfeld,lineare-algebra

Aufgabe:

$$ v_{1}(x, y)=\left(\begin{array}{c} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \varphi(x, y) \end{array}\right), \quad(x, y) \neq(0,0) $$
wobei \( \varphi(x, y) \) den Winkel zwischen der \( \mathrm{x} \) -Achse und dem Punkt \( (x, y) \) in Bogenmaß beschreibt



Problem/Ansatz:

Wir sollen überprüfen, ob bei diesem Vektorfeld die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist. Wie geht das, wenn wir einen Winkel im Vektorfeld haben?

Unvollständige Version und deren Diskussion, sowie Tipps in den folgenden Kommentaren!

Titel: Kurvenintegra 2.Art berechnen eines Vektorfeldes

Stichworte: vektorfeld,integral,kurvenintegral,art

Aufgabe:

$$ v_{1}(x, y)=\left(\begin{array}{c} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \varphi(x, y) \end{array}\right), \quad(x, y) \neq(0,0) $$
wobei \( \varphi(x, y) \) den Winkel zwischen der \( \mathrm{x} \) -Achse und dem Punkt \( (x, y) \) in Bogenmaß beschreib
Problem/Ansatz:

Wir sollen das Kurvenintegral 2. Aet berechnen. Wie geht das?

Ohne Angabe einer Kurve kann kein Kurvenintegral berechnet werden!

(1) Kannst du \(\varphi(x,y)\) explizit angeben?

(2) Berechnest du das Potential mit der Ansatz- oder der Kurvenintegralmethode?

Hallo

poste wirklich die ganze Aufgabe, für ein Kurvenintegral 2. Art braucht man eine Funktion f(x,y) und eine Kurve c(t)

was genau soll jetzt berechnet werden? wahrscheinlich sollst du den Weg von (2,0) nach (-2.0) erst mal parametrisieren? also c(t)=(2-2t,0) für t von 0 bis -2?

dann rechne v(c(t))*c'(t) (Skalarprodukt) aus und integriere,

lul

Das potential habe ich bereits berechnet. Ich bräuchte nur die a und c.

Schade, irgendwie ist meine Antwort jetzt nicht korrekt angenommen bzw. zugeordnet worden, weil hier irgendwas an den Fragen rumgefummelt wurde, während ich meine Antwort geschrieben habe... Um das alles nochmal aufzuschreiben, fehlt mir allerdings jetzt der Antrieb :(

Schade, irgendwie ist meine Antwort jetzt nicht korrekt angenommen bzw. zugeordnet worden, weil hier irgendwas an den Fragen rumgefummelt wurde, während ich meine Antwort geschrieben habe... Um das alles nochmal aufzuschreiben, fehlt mir allerdings jetzt der Antrieb :(

Oh mist, das tut mir Leid.

Ich hätte noch genügend Antrieb, eine Antwort zu schreiben, bin mir aber noch nicht ganz sicher, ob man \(\varphi (x,y)\) explizit dafür braucht.

Also. Mir ist leider kein expliziters Phi gegeben. Nur das allgemeine.

Tschakabumba. Ich weiß, es wurde etwas herumgefummelt, weil erst die Info mit dem Anfangs und Endpunkt gefehlt hat und dann die gesamte Aufgabe gefordert wurde. Ich wäre Ihnen dennoch sehr verbunden, wenn Sie mir helfen könnten.

1 Antwort

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Beste Antwort

Aloha :)

(a) Integrabilitätsbedingungen prüfen

Die erste Komponente von \(\vec v_1\) können wir direkt partiell nach \(y\) ableiten:$$\frac{\partial v_{1,x}}{\partial y}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}_{=\text{äußere \(\ln\)}}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}}^{=\text{äußere \(\sqrt{\cdots}\)}}\cdot\overbrace{2y}^{\text{innere \(\sqrt{\cdots}\)}}}_{=\text{innere \(\ln\)}}=\frac{y}{x^2+y^2}$$Bei der zweiten Komponente nutzen wir \(\varphi=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\) für \(x>0\) bzw. \(\varphi=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi\) für \(x<0\) und finden, weil die Konstante \(\pi\) beim Ableiten verschwindet:$$\frac{\partial v_{1,y}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\underbrace{\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left(-\frac{y}{x^2}\right)}_{=\text{innere}}=-\frac{y}{x^2+y^2}$$Die Integrabilitätsbedinungen für \(\vec v_1\) sind wegen des Minus-Zeichens nicht erfüllt.

$$\frac{\partial v_{2,x}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\cos(y)e^x\right)=\sin(y)e^x$$$$\frac{\partial v_{2,y}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\sin(y)e^x+4y\right)=\sin(y)e^x$$Die Integrabilitätsbedingungen für \(\vec v_2\) sind erfüllt.

(b) Bestimmung eines Potentials für \(\vec v_2\)

Wir integrieren die \(y\)-Komponente über \(\partial y\) und erhalten eine von \(x\) abhängige Integrations"konstante":$$V_2=\int\left(\sin(y)e^x+4y\right)\,dy=-\cos(y)e^x+2y^2+c(x)$$Zur Bestimmung der "Konstanten" leiten wir partiell nach \(x\) ab und vergleichen das Ergebnis mit der \(x\)-Komponente von \(V_2\):$$\frac{\partial V_2}{\partial x}=-\cos(y)e^x+c'(x)\stackrel{!}{=}-\cos(y)e^x\quad\Rightarrow\quad c'(x)=0\quad\Rightarrow\quad c(x)=\text{const}$$Damit lautet ein Potential für \(\vec v_2\):$$V_2(x,y)=-\cos(y)e^x+2y^2$$

(c) Kurventintegrale bestimmen

$$I_1=\int\limits_C\vec v_1\,d\vec r=\int\limits_{(2;0)}^{(2;2)}\vec v_1\,d\vec r+\int\limits_{(2;2)}^{(-2;2)}\vec v_1\,d\vec r+\int\limits_{(-2;2)}^{(-2;0)}\vec v_1\,d\vec r$$Beim ersten Weg von \((2;0)\to(2,2)\) bleibt die \(x\)-Koordinate konstant, d.h. \(dx=0\). Beim zweiten Weg von \((2;2)\to(-2,2)\) bleibt die \(y\)-Koordinate konstant, d.h. \(dy=0\). Beim dritten Weg von \((-2;2)\to(-2,0)\) bleibt wieder die \(x\)-Koordinate konstant, d.h. \(dx=0\). Damit vereinfachen wir das Integral zu

$$I_1=\int\limits_0^2 \left[v_{1,y}\right]_{x=2}\,dy+\int\limits_2^{-2}\left[v_{1,x}\right]_{y=2}\,dx+\int\limits_2^0 \left[v_{1,y}\right]_{x=-2}\,dy$$$$\phantom{I_1}=\int\limits_0^2\varphi(2,y)\,dy+\int\limits_2^{-2}\ln\sqrt{x^2+2^2}\,dx+\int\limits_2^0\varphi(-2,y)\,dy$$$$\phantom{I_1}=\int\limits_0^2\arctan\left(\frac{y}{2}\right)\,dy+\int\limits_2^{-2}\ln\sqrt{x^2+4}\,dx+\int\limits_2^0\left(\arctan\left(-\frac{y}{2}\right)+\pi\right)\,dy$$$$\phantom{I_1}=\int\limits_0^2\arctan\left(\frac{y}{2}\right)\,dy-\int\limits_2^0\arctan\left(\frac{y}{2}\right)\,dy+\int\limits_2^{-2}\ln\sqrt{x^2+4}\,dx-2\pi$$$$\phantom{I_1}=2\int\limits_0^2\arctan\left(\frac{y}{2}\right)\,dy+\int\limits_2^{-2}\ln\sqrt{x^2+4}\,dx-2\pi$$$$\phantom{I_1}=(\pi-\ln4)-(4-\pi-\ln64)-2\pi=4-\ln4-\ln64=4-(\ln4+\ln64)$$$$\phantom{I_1}=4-\ln(256)=4-\ln(4^4)=4-4\ln4=4(1-\ln4)$$

$$I_2=\int\limits_C\vec v_2\,d\vec r=\int\limits_C\frac{\partial V_2}{\partial\vec r}\,d\vec r=\int\limits_{(2;0)}^{(-2;0)}dV_2=V_2(-2;0)-V_2(2;0)$$$$\phantom{I_2}=\left(-\cos(0)e^{-2}+2\cdot0^2\right)-\left(-\cos(0)e^{2}+2\cdot0^2\right)=-e^{-2}+e^2=2\sinh2$$

Avatar von 152 k 🚀

Super, Vielen Dank!!

Gerne, du kannst ja nichts dafür, dass ich alles doppelt tippen musste... Aber du könntest eine gute Bewertung abgeben ;)

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