Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung ty´´+y´=2t

Question

Aufgabe:

ty´´+y´=2t

Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.

Problem/Ansatz:

y(1)=1 y´(1)=1    Substitution y´=u

Kann mir jemand erklären, wie ich die oben genannte Aufgabe lösen kann? Bzw. einen Ansatz geben, damit ich weiter rechnen kann?

Ich bedanke mich schonmal im voraus! :)

LG Nils

Answer 1

Hallo,

u= y'

u' = y''

--->

t *u' +u= 2t ->Variation der Konstanten

->homogene DGL:

t *u' +u=0

t u'= -u

t *du/dt= -u

du/dt= -dt/t

du/u= - dt/t

ln|u|= -ln|t| +C

uh =C1/t ---------->C1=C(t) --->Variation der Konstanten

up =C(t)/t

up'= C'(t)/t -C(t)/t^2

->up und up' in die DGL einsetzen:

t *u' +u= 2t

t (C'(t)/t -C(t)/t^2) + C(t)/t=2t ->C(t) fällt heraus

C'(t)= 2t

C(t)= t^2

up= C(t)/t =t^2/t =t

u=uh +up= C1/t +t

Resubstitution: u =y'

y'= C1/t +t

y= C1 ln|t| +t^2/2 +C2

-Einsetzen der AWB: y(1) =1 ,y'(1)=1

Lösung

y(t)=t^2/2 +1/2

Comments

Super, danke für die schnelle und nachvollziehbare Antwort!:)