Reihen: Wieso divergiert die Summe 1/(ln(n) * n)?

Question

Aufgabe:

Wieso divergiert Summe 1/(ln(n) * n)?

Problem/Ansatz:

Mein Term geht ja langsam Richtung 0 -> Also habe ich doch eine Nullfolge..

In der Lösung steht "Orient. divergent" ohne jegliche Erklärung dazu.

Was ist falsch an meiner Überlegung?

Habe es bearbeitet:

Summe 1/(ln(n) * n) dies muss ich mit dem Integralkriterium erklären, ob divergend oder konvergent.

Verstehe jedoch nicht, wieso die divergiert.

Comments

Fehlt hier noch ein Summenzeichen?

Folge oder Reihe?

Warum kein Fragezeichen in der Überschrift?

Term in Überschrift stimmt nicht mit Term in der Fragestellung überein.

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In "1/n * ln(n)" gehört ln(n) doch zum Zähler und ist gleichwertig zu ln(n)/n.

Im Gegensatz dazu, aber aus gleichem Grund, ist die Überschrift "1/ln(n) * n" gleichwertig zu n/ln(n)".

Eine von deinen Folgen ist tatsächlich eine Nullfolge, die andere ist bestimmt divergent.

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Habe es jetzt bearbeitet:

Summe 1/(ln(n) * n) dies muss ich mit dem Integralkriterium erklären, ob divergend oder konvergent.

Verstehe jedoch nicht, wieso die divergiert.

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Ich nehme an, Du betrachtest 1/n*ln(n) als Funktion.
1/n ist eine Nullfolge, das stimmt.
Aber ln(n) divergiert langsam gegen unendlich.
Man würde also vermuten, das 1/ln(n) gegen Null konvergieren müsste.
Tut es auch, aber nicht überall.
Es gibt aber eine Polstelle in 1.
Interessant ist auch der Bereich, wo x im offenen Intervall (0,1) liegt.
Für alle n<1 konvergiert 1/ln(n) in Richtung 0 aus dem negativen Bereich gegen 0 und in Richtung 1 im negativen Bereich gegen -∞.
Für alle n>1 konvergiert 1/ln(n) in Richtung 1 im positiven Bereich gegen gegen +∞ und nur in Richtung unendlich gegen 0.
Plotte mal die Funktion 1/n*ln(n) in GeoGebra, Maple oder gib sie in den online Ableitungsrechner ein (https://www.ableitungsrechner.net/), da wird sie auch geplottet. Dann kannst Du es nochmal sehen.
Es ist bei 1/n*ln(n) wichtig, abschnittsweise Betrachtungen vorzunehmen. Allgemein auch, wenn eine Funktion Polstelllen hat. (Nenner = Null für f(x), aber an dieser Stelle keine Nullstelle im Nenner, sonst Definitionslücke)



bueffel79

Answer 1

Tipp: \(\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x\log(x)}=\log\big(\log(x)\big)+c\).