Berechne den durchschnittlichen Anstieg der Schulden pro Jahr in den ersten 10 Jahren und die durchschnittliche …

Question

Aufgabe:

Der Haushalt einer Stadt ist leider nicht ausgeglichen. Die Schulden zum Jahresende werden einer Prognose zufolge für die nächsten 16 Jahre annähend durch die Funktion f mit f(t) = -0,01 t³ + 0,12 t² + 0,6 t + 2 beschrieben, wobei t die Zeit in Jahren und f(t) der Schuldenstand in Millionen Euro ist.

1.Berechne den Zeitpunkt, zu dem der schuldenstand wieder auf den anfangswert gesunken ist.

2. Berechne den durchschnittlichen Anstieg der Schulden pro Jahr in den ersten 10 Jahren und die durchschnittliche Abnahme vom Beginn des 11. bis zum Ende des 16. Jahres.

3 Berechne die mittlere Änderungsrate der Schulden im gesamten Zeitraum von 16 Jahren. Begründe, dass man bereits der Abbildung entnehmen kann, dass sie negativ ist.
Problem/Ansatz:

Answer 1

1.Berechne den Zeitpunkt, zu dem der schuldenstand wieder auf den anfangswert gesunken ist.

f(t) = - 0.01·t^3 + 0.12·t^2 + 0.6·t + 2 = 2 --> t = 15.80 Jahre

Nach 15.8 Jahren ist der alte Schuldenstand wieder erreicht.

2. Berechne den durchschnittlichen Anstieg der Schulden pro Jahr in den ersten 10 Jahren und die durchschnittliche Abnahme vom Beginn des 11. bis zum Ende des 16. Jahres.

(f(10) - f(0))/(10 - 0) = 0.8 Millionen Euro/Jahr

(f(16) - f(10))/(16 - 10) = -1.44 Millionen Euro/Jahr

3. Berechne die mittlere Änderungsrate der Schulden im gesamten Zeitraum von 16 Jahren. Begründe, dass man bereits der Abbildung entnehmen kann, dass sie negativ ist.

(f(16) - f(0))/(16 - 0) = -0.04 Millionen Euro/Jahr

Man sieht an der Abbildung bereits das der Funktionswert an der Stelle 16 kleiner ist als der Funktionswert an der Stelle 0. Daher muss die mittlere Änderungsrate negativ sein.