Was ist die Identität einer Matrix?

Question

Aufgabe:

Was ist die Identität einer Matrix?

Ich habe folgende Aufgabe:

1. Sei \( \mathcal{B}=\left(\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}\right) \) eine beliebige Basis des \( \mathbb{R}^{n}, \) und sei \( \mathcal{E}^{n}=\left(\mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{n}\right) \)
die Standardbasis. Wie sieht die Übergangsmatrix \( P \) von \( \mathcal{B} \) zu \( \mathcal{E}^{n} \) aus? Wie können Sie die Übergangsmatrix von \( \mathcal{E}^{n} \) zu \( \mathcal{B} \) bestimmen?

Problem/Ansatz:

Hier muss ich ja eigentlich die Einheitsmatrix zu umstellen mit dem Gauss-Jordan-Verfahren, dass ich dann genau B bekomme. Und das wäre ja eigentlich B^-1 , da B* B^-1 = In ergibt. In den Lösungen steht folgendes, ich weiss aber nicht, was id ist und was es genau beschreiben sollte, kann mir das jemand erklären:

Answer 1

Aloha :)

Die Komponenten der Vektoren in der Basis \(B\) müssen bezüglich einer bereits definierten Basis angegeben sein. In der Regel werden sie bezüglich der Standardbasis \(E\) angegeben. Dazu ein Beispiel:$$B=\left(\,\binom{3}{2}\,,\,\binom{2}{1}\right)$$Die Basisvektoren \(v_1=\binom{3}{2}\) und \(v_2=\binom{2}{1}\) sind bezüglich der Standardbasis angegeben. Wir wissen also, wie sich die Basisvektoren transformieren:$$\binom{1}{0}_B\to\binom{3}{2}_E\quad;\quad\binom{0}{1}_B\to\binom{2}{1}_E$$Damit können wir die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(E\) dirket angeben:$${_E}\mathbf{id}_B=\begin{pmatrix}3 & 2\\2 & 1\end{pmatrix}$$Das gilt allgemein. Um die Transformationsmatrix zu erhalten, braucht man nur die neuen Basis-Vektoren als Spalten in eine Matrix zu schreiben.

Comments

Hallo,

vielleicht sollte man noch die Frage von Longstudy beantworten: id ist eine verbreitete Bezeichnung für die "identische Abbildung", es gilt also \(id(x)=x\).

Die Übergangsmatrix bei Basiswechsel ist aufgrund der Definition zugleich die entsprechende darstellende Matrix für \(id\).

Gruß

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Habe das leider nicht ganz verstanden, was meinst Du mit 'zugleich die entsprechende darstellende Matrix für id'. Evt. ein Beispiel?

Liebe Grüsse

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Hallo,

dieser Zusammenhang ist doch in Deiner Lösung verwendet worden.

Gruß