Wie rechne ich diese Aufgabe am schnellsten: Bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung

Question

\( \sqrt{3x+7} \) - \( \sqrt{x+1} \) = 2

Answer 1

Hallo,

√(3x+7)  -√(x+1)=2 | +√(x+1)

√(3x+7)  =2 +√(x+1) |(..)^2

3x+7  = x+5 +4√(x+1) | -x-5

2x +2=4√(x+1)|: 2

x +1=2√(x+1)|(..)^2

(x+1)^2 = 4(x+1)

x^2 +2x +1= 4x+4

x^2 -2x -3=0 ->pq Formel z.B

x1,2=1  ±√ (1+3)

x1.2= 1± 2

x1= -1

x2= 3

Beides sind laut Probe die Lösungen.

Comments

warum fällt beim quadrieren nicht die wurzel auf der rechten seite weg wie die wurzel auf der linken (zeile 3)

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weil da noch eine 2 steht

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Achso also

(2+ wurzel ) ^2 = 2+wurzel

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ja das ist eine binomische Formel

( 2+√(--)  )^2 =4 +4 √(..) +x+1

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alles klar thx :D

Answer 2

Hallo,

am schnellsten(!) geht es, indem Du die Funktion plotten lässt ...

~plot~ sqrt(3x+7)-sqrt(x+1);2; ~plot~

und dann die abgelesenen Schnittpunkte \(x_1=3\) und \(x_2=-1\) prüfst. Fertig!

... oder Du quadrierst eben zweimal, bis die Wurzel verschwindet: $$\begin{aligned}\sqrt{3x+7} - \sqrt{x+1} &= 2 && \left|\, {}^2 \right. \\ 3x + 7 - 2 \sqrt{3x+7} \sqrt{x+1} + x + 1 &= 4 \\ 4x + 4 &= 2 \sqrt{3x+7} \sqrt{x+1} &&\left|\, \div 2 \right. \\ 2x + 2 &= \sqrt{3x+7} \sqrt{x+1} &&\left|\, {}^2 \right. \\ 4x^2 + 8x + 4 &= (3x+7)(x+1) \\ 4x^2 + 8x + 4 &= 3x^2 + 10x+7 &&\left|\, -3x^2 -10x - 7 \right.\\ x^2 -2x - 3 &= 0 &&\left|\, \text{pq-Formel} \right.\\ x_{1,2} &= 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2 \\ x_1 &= 3, \quad x_2 = -1 \end{aligned}$$die Probe solltest Du aber trotzdem machen.

Comments

Schneller geht es wohl, wenn du ein CAS die Gleichung lösen lässt.

Answer 3

1. Die Wurzeln auf verschieden Seiten der Gleichung bringen.

2. Beide Seiten der Gleichung quadrieren

3. Ausdrücke vereinfachen

4. Verbleibende Wurzel auf eine Seite der Gleichung bringen

5. Beide Seiten der Gleichung quadrieren

6. Die entstandene quadratische Gleichung lösen

Ergebnis \( x = 3 \) und \( x = - 1 \)

Answer 4

Quadrieren und neu ordnen ergibt:

4x+4=2·\( \sqrt{x+1} \)·\( \sqrt{3x+7} \).

Nochmals Quadrieren ergibt: x₁=3 und x₂=-1.