Fakultät kürzen für Konvergenz

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Reihen Aufgabe berechnet und festgestellt, dass die Reihe k!/(2k)! nach Quotientenregel konvergiert.

Nun wollte ich mal nach dem Min und Majorantenkriterium rechnen.

In diesem Fall natürlich mit dem Majorantenkriterium:

Davor wollte ich den Bruch erst einmal kürzen

Wie würdet ihr k!/(2k)! kürzen ?

Ich bekomme dort 1/k raus, was nicht stimmen kann, da es dann divergieren würde (s. Harmonische Reihe)

Answer 1

Du musst $$ \frac{ \color{red}{1\cdot 2\cdot 3\cdots (k-1)\cdot k } }{ \color{red}{1\cdot 2\cdot 3\cdots (k-1)\cdot k } \cdot (k+1)\cdot (k+2)\cdots (2k-1)\cdot 2k}$$ kürzen.

Comments

Sind es dann nicht 1/k im Endeffekt ?

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Ich habe doch extra farbig markiert, was in Zähler und Nenner gleich ist und sich somit wegkürzt! Die schwarzen Faktoren im Nenner bleiben alle übrig.

Das ist mehr als nur ein mickriges "k".

Answer 2

Nach dem kürzen bleibt

1 /  ( (k+1)*(k+2)*...*(2k) )  ≤  1 / (k+1)^k ≤ 1/2^k ≤ (1/2)^k

Konvergiert : geometrische Reihe.