Also musst du das gar nicht kürzen. Du musst nur zeigen, dass dieses Term kleiner als eine Zahl ist, die kleiner als 1 ist.
Dann vergrößern wir doch mal deinen Term, indem wir seinen Nenner kleiner machen:
\(\frac{3}{(2*k+2+(k+1)!} \) * \( \frac{2*k+k!}{1} \)<\(\frac{3}{(k+1)!} \) * \( \frac{2*k+k!}{1} \)
Jetzt klammern wir in Nenner und im Zähler den Faktor k aus:
\(=\frac{3}{k(k+1)(k-1)!} \cdot k\cdot\frac{2+(k-1)!}{1} \)
und kürzen k:
\(=\frac{3}{(k+1)(k-1)!} \cdot \frac{2+(k-1)!}{1} \)
=\( \frac{6+3(k-1)!}{(k+1)(k-1)!} \)
Wir machen den Bruch erneut größer:
<\( \frac{(k-1)!+3(k-1)!}{(k+1)(k-1)!} \)=\( \frac{4(k-1)!}{(k+1)(k-1)!} \)=\( \frac{4}{(k+1)} \)
Wir haben den Bruch zweimal größer gemacht. Trotzdem ist er ab k=4 deutlich kleiner als 1.