Wie kann ich folgenden Term kürzen und vereinfachen. Fakultät

Question

Aufgabe:

Wie kann man folgenden Term kürzen und vereinfachen. Finde das mit der Fakultät ziemlich schwierig.

\( \frac{3}{(2*k+2+(k+1)!} \) * \( \frac{2*k+k!}{1} \)

Problem/Ansatz:

Wie kann man das kürzen?

Answer 1

Das kann man so nicht mal verwenden, geschweige denn kürzen.

Der erste Nenner hat unzweifelhaft eine falsche bzw. unvollständige Klammersetzung.

Ist der Zähler des zweiten Bruchs wirklich ohne Klammer??

Comments

Das ist meine Reihe:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{3^k}{2*k+k!}} \)

Ich möchte hier nun das Quotientenkriterium anwenden, jedoch schaffe ich es nicht, diese Rechnung dann zu vereinfachen. :((

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Also musst du das gar nicht kürzen. Du musst nur zeigen, dass dieses Term kleiner als eine Zahl ist, die kleiner als 1 ist.

Dann vergrößern wir doch mal deinen Term, indem wir seinen Nenner kleiner machen:

\(\frac{3}{(2*k+2+(k+1)!} \) * \( \frac{2*k+k!}{1} \)<\(\frac{3}{(k+1)!} \) * \( \frac{2*k+k!}{1} \)

Jetzt klammern wir in Nenner und im Zähler den Faktor k aus:

\(=\frac{3}{k(k+1)(k-1)!} \cdot k\cdot\frac{2+(k-1)!}{1} \)

und kürzen k:

\(=\frac{3}{(k+1)(k-1)!} \cdot \frac{2+(k-1)!}{1} \)

=\( \frac{6+3(k-1)!}{(k+1)(k-1)!} \)

Wir machen den Bruch erneut größer:

<\( \frac{(k-1)!+3(k-1)!}{(k+1)(k-1)!} \)=\( \frac{4(k-1)!}{(k+1)(k-1)!} \)=\( \frac{4}{(k+1)} \)

Wir haben den Bruch zweimal größer gemacht. Trotzdem ist er ab k=4 deutlich kleiner als 1.

Answer 2

Hier kann man nicht viel machen, weil die Fakultät dort in einer Summe steht und nicht als Faktor

3·(2·k + k!)/(2·k + 2 + (k + 1)!)

Hier kannst du nur vereinzelnd einen Faktor wie die 2 ausklammern. Aber nichts, was den Term radikal vereinfacht.

Comments

Das ist meine Reihe:\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{3^k}{2*k+k!}} \) Ich möchte hier nun das Quotientenkriterium anwenden, jedoch schaffe ich es nicht, diese Rechnung dann zu vereinfachen. :((

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3^(k + 1)/(2·(k + 1) + (k + 1)!) : (3^k/(2·k + k!))
= 3·(k! + 2·k) / ((k + 1)! + 2·(k + 1))
= 3·(k! + 2·k) / ((k! + 2)·(k + 1))

Ich mache mal den Zähler größer und den Nenner kleiner

3·(k! + 2·k!) / (k!·(k + 1))
= 3·(3·k!) / (k!·(k + 1))
= 9·k! / (k!·(k + 1))
= 9 / (k + 1)

Davon der Grenzwert ist 0 oder?