Stetigkeit in Metrischer Raum zeigen...

Question

Aufgabe:

Sei (X,d) ein metrischer Raum.

die Metrik d als Abbildung

(X×X,d_x  ) → (R, I · I )

(x,y) ↦ d(x,y)

d_x ((x,y),(x´,y´)) := d(x,x´) + d(y,y´)                          (x,y), (x´,y´) ∈ X×X

Zeige , dass stetig ist , wobei I·I den Absolutbetrag bezeichnet. ?

Vielen Dank

Answer 1

Hallo,

Du brauchst so etwas wie eine "Vierecksungleichung":

$$|d(x,y)-d(x',y')| \leq d(x,x')+d(y,y')$$

Der Beweis geht etwa so wie der der umgekehrten Dreiecksungleichung (siehe WEB):

$$d(x,y) \leq d(x,x')+d(x',y) \leq d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)$$

Also:

$$d(x,y)-d(x',y') \leq d(x,x')+d(y,y')$$

Diese Ungleichung gilt auch, wenn man x durch x' und y duchr y' ersetzt. Zusammen ist das die oben angegebene Ungleichung mit den Beträgen.

Gruß