Eine Menge in Topologischer Raum zeigen ...

Question

Aufgabe:

Sei (X,T) ein topologischer Raum mit der Hausorff-Eigenschaft und sei x ∈ X: Zeige ;

Die Menge (x) ist abgeschlossen .

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das zeigen ?

Answer 1

Sei \( x\in X\).

Wenn \(X=\{x\}\) ist nichts zu zeigen, da der ganze Raum immer abgeschlossen ist.

Falls \(\#X ≥ 2\) existiert wegen der Hausdorff-Eigenschaft (es reicht auch T1) für jedes \(y ∈ X\setminus\{x\}\) eine offene Umgebung \( U_y \) die x nicht enthält. Das Komplement $$ \{x\}^c = X\setminus\{x\} =\bigcup_{y\in X\setminus\{x\}} U_y $$ ist als Vereinigung offener Mengen selbst offen, also ist \(\{x\}\) abgeschlossen.