Vollständiger metrischer raum zeigen

Question

Sei (A_k) k∈N, A_k = (a_ij)_k eine Folge in M_n×n(C). Zeige, dass
lim A_k = A für k→∞ genau dann, wenn lim (a_ij)_k = a_ij für k→∞ für alle 1 < i,j < n

Folgere, dass (M_n×n(C), d) ein vollständiger metrischer Raum ist

Den ersten Teil mit dem Limes habe ich verstanden, aber wie man die Vollständigkeit daraus folgert ist mir nicht ganz bewusst. In der Lösung stand folgendes:

Folgt aus 1/n ||z||₁ ≤ ||z||₂ ≤ ||z||₁ für z ∈ K^{n^2} mit z = ((a_ij)_k - (a_ij)) , 1 < i,j < n

Das habe ich jedoch nicht verstanden. Könnte mir jemand vielleicht erklären was das genau bedeuten soll?

Comments

Hallo,

Wie ist d definiert? Handelt es sich bei \(\|.\|_i\) (i=1,2) um die Standard-Operatornormen zu den entsprechenden Vektornormen oder sind diese bei Euch eigens für Matrizen definiert worden?

Gruß

Answer 1

Vorweg, ich bin schon eine Ewigkeit raus und hatte mich wenig mit komplexen Zahlen beschäftigt, doch das riecht nach der Dreiecksungleichung.

Der Betrag der Summe zweier Seiten, ist kleiner, als die Summe der Beträge.

Nun können wir diesen Betrag als die Distanz im \( ℝ^{n} \) betrachten aber auch im \( ℂ^{n} \) kann diese Distanz definiert werden, da der imaginäre und der reelle Anteil im \( ℝ^{n^2} \) dargestellt werden können.

Vermutlich ist das geschehen.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung