Zeilen tauschen bei kanonischer Basis bei Transformation?

Question

Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

$$\text{Die lineare Abbildung } \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \text{ sei bezüglich der kanonischen Basis } K \text{ durch die folgende Matrix } \\ M_{K}^{K}(\varphi)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \text{ gegeben. }\\ \text{ Sei außerdem } B:=\left\{\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)\}\right. \text{ eine Basis von } \mathbb{R}^{3}. \text{ Bestimmen Sie } M_{B}^{B}(\varphi) \\ \text{ und geben Sie die benötigten Transformationsmatrizen an.}$$

Folgende Formel hätte ich dafür aufgestellt:

$$M_{B}^{B}=T_{B}^{K} * M_{K}^{K} * T_{K}^{B}$$ $$\text{Stimmt meine Formel?}\\ \text{ Des Weiteren frage ich mich wie man jetzt am besten vorgeht. } \\ \text{ Bei der Matrix } M_{K}^{K}(\varphi) \text{ muss man da die letzten beiden Zeilen tauschen?}$$

Answer 1

Aloha :)

Ich kenne das so, dass die Eingangsbasis der obere Index und die Ausgangsbasis der untere Index ist:$$\mathbf M_B^B=\mathbf{id}_B^K\cdot M_K^K\cdot \mathbf{id}_K^B=(\mathbf{id}_K^B)^{-1}\cdot M_K^K\cdot \mathbf{id}_K^B$$Mit \(\mathbf{id}_K^B\) werden die Komponenten von der Basis \(B\) in die kanonische Basis \(K\) transformiert. Dann wirkt mit \(M_K^K\) die Funktion. Am Ende werden mit \(\mathbf{id}_B^K\) die Komponenten des Ergebnisses von der kanonischen Basis \(K\) in die Basis \(B\) transformiert.

$$\mathbf M_B^B=\left(\begin{array}{r}0 & -1 & 2\\1 & 1 & -1\\0 & -1 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}0 & -1 & 2\\1 & 1 & -1\\0 & -1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0\\-2 & -3 & 4\\-1 & -2 & 3\end{array}\right)$$

Comments

Hallo,

Ist K denn in diesem Fall die Standardbasis E3, oder eine andere? Mich wundert es ein wenig, da ja id^B_E3 eine andere Transformationsmatrix wäre als id^B_K aufgrund der vertauschten Zeile, oder irre ich mich da?

Gruß

---

Danke für die Hilfe Tschakabumba :)

---

@Karotte

Ja, \(K\) steht in dieser Aufgabe für die kanonische Standardbasis \(E_3\). Die Vertauschung der Zeilen in der Abbilungsmatrix \(M_K^K\) hat nichts mit der Transformationsmatrix zu tun. Die Transformationsmatrix richtet sich allein nach den angegebenen Basisvektoren von \(B\).

@mathflower:

Die Abbildungsmatrix \(M\) beschreibt eine lineare Funktion. Diese Funktion beeinflusst nicht, wie man von der kanonischen Basis \(K\) in die Basis \(B\) transformiert. Die Transformationsmatrix \(\mathbb{id}_K^B\) entält die Basisvektoren von \(K\) als Spalten.