Drei verschiedene Funktionenfolgen

Question

Hi :)

Ich habe mich nochmal an Funktionenfolgen versucht. Bin mir aber bei einigen nicht sicher.

1) n≥2 und x∈ [0,1] , f_n= sin(π*n*x) falls 0 ≤ x ≤ \( \frac{1}{n} \) und 0 falls \( \frac{1}{n} \)< x ≤1

- Konvergiert es punktweise? Also für die Randpunkte x=0, \( \frac{1}{n} \), 1 konvergiert ja die Funktionefolge gegen 0. Kann ich dann auch sagen, dass es für die Werte dazwischen der Fall ist und f(x)=0 meine Grenzfunktion ist?

-Konvergiert es gleichmäßig auf [0,1]? ????

2) f_n:ℝ→ℝ f_n(x)= \( \frac{1}{n+x^2} \)

-Punktweise Konvergenz:  lim _n→∞\( \frac{1}{n+x^2} \) =0                                                                                                  -Gleichmäßig: I \( \frac{1}{n+x^2} \)-0 I = I \( \frac{1}{n+x^2} \)I < \( \frac{1}{n} \) =ε  Also konvergiert es gleichmäßig mit Grenzfunktion 0? Übersehe ich etwas oder ist es wirklich so einfach?

3) f_n(x) = \( \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} \) , x∈ℝ

Punktweise Konvergenz: lim _n→∞ \( \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} \) = für x≠0  f(x)=x und für x=0  f(x)=0

Gleichmäßige Konvergenz: Nicht gleichmäßig konvergent, da die Grenzfunktion nicht stetig ist?

Wäre wirklich sehr dankbar, wenn jemand mal drüber schauen könnte.

Answer 1

Hallo

x<1/n, x=1/2n f(x)=sin(pi/2)=1 also wie kannst du sagen "Kann ich dann auch sagen, dass es für die Werte dazwischen der Fall ist ?

2) richtig

3) f(x)=x und für x=0 auch f(x)=x=0 also glm.

Gruß lul

Comments

Danke für deine Antwort :)

1) Also habe ich 0 und 1 als Grenzfunktion?

3) Ich verstehe nicht ganz wie daraus gleichmäßige Konvergenz folgt?