Absolute Konvergenz der Sinus- und Cosinus-Reihe zeigen

Question

Aufgabe:

Sinus Cosinus als Exponentialreihe

Problem/Ansatz:

\( \begin{aligned} \exp (i x) &=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(i x)^{n}}{n !}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(i x)^{4 k}}{(4 k) !}+\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(i x)^{4 k+1}}{(4 k+1) !}+\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(i x)^{4 k+2}}{(4 k+2) !}+\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(i x)^{4 k+3}}{(4 k+3) !} \\ &=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{4 k}}{(4 k) !}+i \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{4 k+1}}{(4 k+1) !}-\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{4 k+2}}{(4 k+2) !}-i \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{4 k+3}}{(4 k+3) !} \\ &=\sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k) !}+i\left[\sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1) !}\right] \end{aligned} \)

Hallo Leute, ich bräuchte mal wieder eure Hilfe. Und zwar geht es erstens um die Umformung von der vorletzten Zeile in die letzte Zeile. Zweitens verstehe ich nicht, wie ich in diesen Zeilen ablesen kann, dass der Sinus und der Cosinus absolut konvergieren, obwohl ich weiß, dass die hintere Reihe in der letzten Zeile die Reihe für den Sinus ist, während die davor die für den Cosinus ist. In meinem Skript steht nur, dass man - um die absolute Konvergenz beider zu zeigen - entweder das Majorantenkriterium oder das Quotientenkriterium anwenden kann. Das erste Kriterium würde ja erfüllt sein, wenn sich herausstellt, dass jede mögliche Partialsumme der Exponentialreihe kleiner als die des Sinus beziehungsweise des Cosinus ist und die Exponentialreihe zusätzlich absolut konvergiert, während für das Quotientenkriterium ja gezeigt werden müsste, dass jedes einzelne Glied der Sinus- beziehungsweise Cosinus-Reihe im Vergleich zum vorherigen Glied immer echt kleiner ist. Das eines der beiden Kriterien erfüllt ist, sehe ich leider nicht. Vielleicht hat ja jemand eine Lösung für das Problem parat. Danke schonmal für jede Hilfe!

Answer 1

Im vorletzten Schritt hast du ja 2 Reihen mit dem Faktor i davor und 2 ohne.

Die sind jeweils zusammen betrachtet worden, ich nehme mal die ohne i:

$$\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{4 k}}{(4 k) !}-\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{4 k+2}}{(4 k+2) !}$$

und schreibe mal von beiden Summen die ersten 4 Summanden auf, dann ist das

$$(  \frac{x^{0}}{1}+ \frac{x^{4 }}{4 !}+ \frac{x^{8}}{8 !}+ \frac{x^{16}}{16!}+...) -( \frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{6}}{6!}+\frac{x^{10}}{10 !}+\frac{x^{14}}{14!}+...)$$

Wenn du da die Reihenfolge änderst und nimmst immer einen Summanden

aus der ersten Klammer und dann einen aus der zweiten, erhältst du eine

Summe bei der abwechseln + und - steht und alle Summanden mit geraden

Exponenten vorkommen, also genau das was in der ersten Summe der

letzten Zeile deines Textes steht.

Und darauf kannst du doch das Quotientenkriterium anwenden, wenn du x^2k durch y^k ersetzt.

Comments

Hallo mathef, also weshalb die letzte Zeile so lautet, wie sie lautet, leuchtet mir nach deiner Antwort ein. Ich hatte mich nochmal drangesetzt und dann auch tatsächlich noch zeigen können, dass das Quotientenkriterium gilt. Nur habe ich die Sinus- und Cosinus-Reihe so gelassen wie sie sind und einfach das k+1-te Glied durch das k-te Glied geteilt. Konvergierte gegen 0 für k gegen ∞. Meine letzte Frage an dich wäre dann nur noch, was es mir bringen würde, wenn ich x^2k durch y^k ersetze, so wie du es geschildert hast.  Wäre das einfach schöner anzusehen, da ich in diesem Fall nicht x^2k und x^2(k+1) betrachten würde, sondern y^k und y^k+1 und so die Klammer vermeide oder gibt es noch einen weiteren wichtigen Nutzen?

Ganz liebe Grüße und vielen Dank !!

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Bei Konvergenzradius unendlich ist das in der Tat nicht

nötig. Bei endlichem Konvergenzradius müsste man ihn

dann noch von den y auf die x umrechnen.

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okay! dann habe ich alles verstanden. Ganz vielen Dank!