Aloha :)
Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix ist geometrisch gleich der Größe des \(n\)-dimensionalen Volumens, das die Spalten- oder Zeilenvektoren aufspannen. Wenn die Determinante null ist, spannen die \(n\) Vektoren daher kein \(n\)-dimensionales Volumen auf, sodass die Vektoren linear abhängig sein müssen.
Wird eine lineare Abbildung durch eine Matrix \(A\) mit Determinante null beschrieben heißt das, dass der Bildraum mindestens um eine Dimension kleiner sein muss als der Ursprungsraum. Man verliert bei der Abbildung \(A\) also die Information von mindestens einer Dimension. Allein aus den Bildern ist diese verlorene Dimension nicht rekonstruierbar, sodass die Matrix \(A\) nicht umkehrbar ist.