Wieso zeigt mir die Determinante die Invertierbarkeit?

Question

Aufgabe:

Wieso zeigt mir die Determinante die Invertierbarkeit ?

Problem/Ansatz:

Meine Überlegung ist, dass die Determinante det≠0 uns die lineare Unabhängigkeit zeigt und somit wir das Inverse der jeweiligen Matrix bestimmen können.

Answer 1

Meine Überlegung ist, dass die Determinante det≠0 uns die lineare Unabhängigkeit zeigt und somit wir das Inverse der jeweiligen Matrix bestimmen können.

Das ist völlig richtig. Wäre die Determinante 0 hätte das homogene lineare Gleichungssystem Mx = 0 keine eindeutige Lösung und dann kann man x nicht eindeutig berechnen.

Answer 2

Aloha :)

Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix ist geometrisch gleich der Größe des \(n\)-dimensionalen Volumens, das die Spalten- oder Zeilenvektoren aufspannen. Wenn die Determinante null ist, spannen die \(n\) Vektoren daher kein \(n\)-dimensionales Volumen auf, sodass die Vektoren linear abhängig sein müssen.

Wird eine lineare Abbildung durch eine Matrix \(A\) mit Determinante null beschrieben heißt das, dass der Bildraum mindestens um eine Dimension kleiner sein muss als der Ursprungsraum. Man verliert bei der Abbildung \(A\) also die Information von mindestens einer Dimension. Allein aus den Bildern ist diese verlorene Dimension nicht rekonstruierbar, sodass die Matrix \(A\) nicht umkehrbar ist.