Untersuche folgenden Reihen auf Konvergenz, Struktur

Question

Text erkannt:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
C) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{3}}{2^{k} \cdot e^{k}} \)
d) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{2 k+3} \)

Moin moin,

wie schreibe ich die Untersuchung korrekt auf ... ich habe zu c) einfach k gegen unendlich laufen lassen und es lief gegen 0, reicht das schon als "Aufgabe erfüllt"?
Zu d) habe ich auch eine große Zahl für k eingesetzt, es kam â vermutlich 0,5 raus danach habe ich
a_n - â gemacht und es kam raus, dass die Reihe gegen 0 konvergiert...

Wie berechne ich das bzw. zeige das?

Comments

d) konvergiert nicht. Die Summanden bilden keine Nullfolge.

Answer 1

Aloha :)

c) Verwende das Quotientenkriterium:$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{\frac{(k+1)^3}{2^{k+1}e^{k+1}}}{\frac{k^3}{2^ke^k}}=\frac{(k+1)^3}{2^{k+1}e^{k+1}}\,\frac{2^ke^k}{k^3}=\frac{(k+1)^3}{k^3}\,\frac{(2e)^k}{(2e)^{k+1}}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^3\,\frac{1}{2e}$$$$\phantom{\frac{a_{k+1}}{a_k}}\stackrel{(k\ge3)}{\le}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\,\frac{1}{2e}\,\stackrel{(k\to\infty)}{\to}\,e\,\frac{1}{2e}=\frac{1}{2}<1$$$$\Rightarrow\quad\text{konvergent}$$d) Auch hier hilft das Quotientenkriterium:$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{(-1)^{k+1}\,\frac{k+1}{2(k+1)+3}}{(-1)^k\,\frac{k}{2k+3}}\right|=\left|-\frac{k+1}{2(k+1)+3}\frac{2k+3}{k}\right|=\frac{(k+1)(2k+3)}{(2k+5)\,k}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|}=\frac{2k^2+2k+3k+3}{2k^2+5k}=\frac{2k^2+5k+3}{2k^2+5k}=1+\frac{3}{2k^2+5k}\,\stackrel{k\to\infty}{\to}\,1$$$$\Rightarrow\quad\text{divergent}$$

Comments

Hallo,

die letzte Aussage von T ist falsch. Wenn \(\left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| \to 1\) gilt, liefert das Quotientenkriterium keine Aussage: Es kann Konvergenz oder Divergenz der Reihe vorliegen. Beispiel: \(a_k=\frac{1}{k^m}\) mit m=1 oder m=2.

Hier hilft vielmehr die Beobachtung, dass \(|a_k| \to 0.5\), also bilden die Summanden keine Nullfolge.

Gruß

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Ich habe mir das mal in Excel angesehen.

Die Summen schwanken immer zwischen ca. +0,2 und ca. -0,3 hin- und her.

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@MathePeter:

Ich habe extra den Zwischenschritt \(1+\frac{3}{2k^2+5}\) eigefügt, damit klar wird, dass \(\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\ge1\) für fast alle \(n\) gilt. Und dafür garantiert das Quotientenkriterium sehr wohl die Divergenz. Ich hätte vielleicht noch schreiben sollen, dass der Quotient von oben her gegen \(1\) konvergiert, um es noch deutlicher zu machen.

Bei den von dir genannten Beispielen ist \(\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\le1\) für fast alle \(n\). In diesen Fällen muss man einen konkreten Grenzwert \(c<1\) angeben können, damit das Quotientenkriterium eine Aussage zulässt.

Vergleiche: https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium

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Hallo,

das ist doch jetzt Ausrede. Deine Formulierung war falsch - insbesondere wenn wir davon ausgehen, dass wir Leuten helfen wollen, die Probleme beim Lernen von Mathematik haben. Ein richtiges Argument hast Du jetzt nachgeschoben.

Gruß

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ich habe raus dass ak+1 > ak ist und somit divergent, ist das korrekt?

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@MathePeter:

Nee, das ist keine Ausrede. Meine Antwort war richtig und deine Behauptung, meine Antwort wäre falsch, war falsch.

Für mich sieht es eher so aus, dass dir der Umstand überhaupt nicht klar war, dass die Divergenz garantiert wird, falls der Grenzwert von oben her gegen 1 strebt. Das untermauern auch deine beiden "Gegenbeispiele", wo der Grenzwert von unten her gegen 1 geht.

Aber es freut mich, dass du nun mit meiner nachgeschobenen Argumentation glücklich bist ;)

Stefan

@Clemens77:

Ja, dadurch, dass \(a_{k+1}>a_k\) ist, ist auch \(\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|>1\). Der Quotient konvergiert daher von oben her gegen 1. Und dafür garantiert das Quotientenkriterium die Divergenz der Summe.

Stefan

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Alles klar danke!

Answer 2

Zu c)

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{k^{3}}{2^{k}*e^{k}}} \) < 

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{k^{3}}{5^{k}}} \) <

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{k^{3}}{1,7^{3k}}} \) <

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{k^{1}}{1,7^{k}}} \) <

=\( \frac{1,7}{0,7*0,7} \) <4

Die Summe ist monoton wachsend und beschränkt, also konvergiert sie.