Wie löse ich die Gleichung nach X auf

Question

Aufgabe:

x: √(x)+2x-3=x+9

Problem/Ansatz:

Gleichung

Answer 1

Hi,

bring am besten alles, bis auf die Wurzel, auf eine Seite und quadriere.

\(\sqrt x = -x+12  \quad|\text{quadrieren}\)

\(x = x^2 - 24x + 144\)

Nun x rüber und pq-Formel

\(x_1 = 9\)

\(x_2 = 16\)

Probe machen: \(x = 9\) ist die einzige Lösung.

Grüße

Answer 2

Quadrieren ist nicht unbedingt erforderlich.

Auch eine Substitution √(x)=z (die x=z² nach sich zieht) führt zu einer lösbaren quadratischen Gleichung.

Answer 3

$$\sqrt x +2x-3=x+9$$ lässt sich schreiben als $$ x + \sqrt x - 12 = 0$$ und dies als $$ \left(\sqrt{x}\right)^2 + 2\cdot\sqrt x\cdot \dfrac 12 + \left(\dfrac 12\right)^2 - \dfrac 14 - 12 = 0 $$ was mit der ersten binomische Formel und einfachem Zusammenfassen als Differenz zweier Quadrate notiert werden kann: $$\left(\sqrt x + \dfrac 12 \right)^2 - \left(\dfrac 72\right)^2 = 0 $$ Die linke Seite lässt sich nach der dritten binomische Formel faktorisieren zu $$\left(\sqrt x - 3\right)\cdot \left(\sqrt x + 4\right)=0 $$ Da der rechte Faktor nicht Null werden kann, ist die Gleichung äquivalent zu $$ \sqrt x - 3 = 0 $$Diese Gleichung lässt sich leicht nach x auflösen.

Answer 4

Substitution: √x = z

z=-z^2+12

z^2+z-12 = 0

(z+4)(z-3)= 0

z1= -4

z2= 3

-> x1= 9

x2 = 16 (entfällt)