Volumen des hohlen Würfels:
Nun, der Würfel besteht aus 12 "Balken" mit jeweils den Maßen 4 * 1 * 1 Längeneinheiten (LE). Hinzu kommen 8 massive Würfel, die die Ecken des hohlen Würfels bilden und die Maße 1 * 1 * 1 LE haben.
Insgesamt ergibt sich also ein Volumen Vhohl von
Vhohl = 12 * 4 * 1 * 1 + 8 * 1 * 1 * 1
= 48 + 8 = 56 LE 3
Man könnte das Volumen des hohlen Würfels auch so berechnen:
Der hohle Würfel entsteht aus einem gleich großen massiven Würfel, indem man aus dessen Zentrum einen massiven Würfel mit einer Kantenlänge von 4 LE herausschneidet sowie aus seinen 6 Seitenwänden jeweils eine "Platte" mit den Maßen 4 * 4 * 1 LE herausschneidet.
Es ergibt sich:
Vhohl = Vmassiv - 4 * 4 * 4 - 6 * 4 * 4 * 1
= 6 3 - 4 3 - 96
= 216 - 64 - 96 = 56 LE 3
Zum Vergleich: Ein massiver Würfel mit gleicher Außenseitenlänge ( 6 LE ) hat ein Volumen Vmassiv von:
Vmassiv = 6 3 = 216 LE 3
und hat damit beinahe das vierfache Volumen wie der hohle Würfel.
Oberflächeninhalt des hohlen Würfels:
Die zwölf Balken, mit denen schon bei der Berechnung des Volumens gerechnet wurde, haben jeweils die Maße 4 * 1 * 1 LE. Ihre Außenflächen sind also 4 Rechtecke zu jeweils 4 * 1 LE. Ihre Stirnflächen sind verdeckt, tragen als nichts zum Oberflächeninhalt bei. Somit haben die 12 Balken insgesamt einen Oberflächeninhalt OBalken von
OBalken = 12 * 4 * 4 * 1 = 192 LE 2
Hinzu kommen noch die Oberflächeninhalte der 8 Ecken. Diese sind Würfel mit der Kantenlänge 1 LE , von deren jeweils 6 Flächen jeweils 3 sichtbar und 3 verdeckt sind. Die 3 sichtbaren Flächen haben jeweils die Maße 1 * 1 LE, sodass sich für den gesamten Flächeninhalt der 8 Ecken ergibt:
OEcke = 8 * 3 * 1 * 1 = 24 LE 2
Insgesamt ergibt sich also ein Oberflächeninhalt Ohohl des hohlen Würfels von
Ohohl = OBalken + OEcke
= 192 + 24 = 216 LE 2
Zum Vergleich: Die Oberfläche des massiven Würfels besteht aus 6 quadratischen Flächen mit den Maßen 6 * 6 LE. Er hat also einen Oberflächeninhalt von:
Omassiv = 6 * 6 * 6 = 216 LE 2
also genau so viel wie der hohle Würfel!
