Wie bestimme ich die Koordinatenmatrix von C?

Question

Aufgabe:

Es sei f : R² → R³ die lineare Abbildung gegeben durch
die lineare Fortsetzung von

f \(( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} \)

und

f\(( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Bezüglich welcher Basen von R² und R³ können Sie die Koordinatenmatrix direkt
ablesen? Geben Sie eine solche Basis und die zugehörige Koordinatenmatrix an.

Geben sie zudem die Koordinatenmatrix M_c3^c2=(f) bezüglich der Standardbasen

C₂=(\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)) von R² und

C₃ = (\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \))

Problem/Ansatz:

Zum ersten Teil war meine Idee:

Habe die Basen B genannt mit

B₂= (\( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \) )

und B₃=  (\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \))

und M_b3^b2 = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \)

wie bestimme ich jetzt hingegen die Koordinatenmatrix für C an? Ich tue mir sehr schwer mit der Transformationsformel

Answer 1

Da brauchst du die Bilder der Vektoren

1
0

und

0
1.

Um die zu bestimmen, stelle

1
0

durch die Vektoren von B2 dar, das gibt

$$ \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} =2\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}+(-1)\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}$$

und entsprechend

$$ \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} =(-1)\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}$$.

Damit kannst du dann rechnen

$$ f(\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}) =f(2\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}+(-1)\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix})=2\begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix}+(-1)\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\-1\\-5 \end{pmatrix}$$

Damit hast du die erste Spalte der gesuchten Matrix. Und beginnend mit

0
1

bekommst du die zweite.

Comments

muss das nicht \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\-5 \end{pmatrix} \) sein?

und für

f(\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} -1\\1\\3 \end{pmatrix} \) ?

---

Ah ja, leider verrechnet. Ich korrigiere.

Du kannst es auch überprüfen (oder auch gleich so rechnen),

dass du die schon bestimmte Matrix

1   0
0   1
-2  1

multiplizierst mit der Inversen von

1   1
1   2.