Zeigen Sie, dass die Funktion unendlich viele lokale Maximalstellen, aber keine Minimalstellen besitzt.

Question

Höhere Mathematik 2

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion \( z(x, y)=\left(1+e^{y}\right) \cos x-y e^{y} \) unendlich viele lokale Maximalstellen, aber keine Minimalstelle besitzt. Was kann man über die Sattelpunkte berichten?

Answer 1

die partiellen Ableitungen sind ja

dz/dx = (1 + e^y ) * cos(x) . Das ist nur 0 für x=n*π

und dz/dy = ( cos(x) - 1 - y ) *e^y

und das ist für x=n*π nur 0, wenn

y=0  (bei geradem n)  und y=-2 (bei ungeradem n )

Also hast du kritische Punkte für jedes ganzzahlige k bei

( 2kπ ; 0 )  und bei ((2k+1)π ; -2 ).

Also unendlich viele.

Die Hessematrix an diesen Stellen :

Für ( 2kπ ; 0 ) ist

-2    0
0     -2

also negativ definit, hier sind alles lok. Maxima.

Für ((2k+1)π ; -2 )   ist es

1+e^2      0
  0        -e^2

also indefinit, hier sind Sattelpunkte.

Also gibt es keine lok. Minima.

Comments

müssen diese Zahlen auf der Hauptdiagonale rauskommen oder ist nur das vorzeichen wichtig?

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Wenn nur auf der Hauptdiagonalen von 0

verschiedene Zahlen rauskommen, sind das die

Eigenwerte. Wenn alle negativ sind, ist

die Matrix negativ definit.

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warum gilt das nicht bei ((2n-1)pi/2)

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Da haben die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen.

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Ich glaube er meint ganz am Anfang bei dz/dx warum das 0 für n*Pi ist.

Weil wenn man das in cos(x) einsetzt, dann kommt da ja immer 1 oder -1 raus, je nachdem ob n eine ganze gerade oder ungerade zahl ist.

Man müsste ((2n-1)pi/2) für x einsetzen, damit cos(x) gleich null ist.

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ich meinte warum das am anfang für x = n * pi gilt

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genau das wars

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Also ich hab P_1 (\( \frac{2n-1)π}{2} \), -1) und   P_2 (n*2π, 0) als stationäre punkte raus.