Zeigen, dass die Funktion unendlich viele lokale Maximalstellen besitzt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion \( z(x, y)=\left(1+e^{y}\right) \cos x-y e^{y} \) unendlich viele lokale Maximalstellen, aber keine Minimalstelle besitzt. Was kann man über die Sattelpunkte berichten?

Problem/Ansatz:

hi, ich mache diesen Aufgabentyp das erste mal und würde mich freuen, wenn jemand mit Rückmeldung zu dieser Aufgabe geben kann.

Die n.B. für Extremstellen ist ja das die partiellen Ableitungen gleich null sein müssen.

z_x = (1+e^y )*cos x = 0

z_y = e^y (cos(x) -1 -y) = 0

bei z_x muss cos(x) null sein und das gilt allgemein für \( \frac{(2n-1)π}{2} \) => y = -1 wenn man die z_y gleichung betrachtet und in der klammer 0 -1 -(-1) gleich null berücksichtigt.

oder (1+e^y) = 0 => y=ln(-1) = 0 (ist das erlaubt, also sind hier betragsstriche?)

=> cos(x) = 1, da dann 1-1-y = 0 wäre, also gilt das bei x= n*2π

Ich habe für jedes ganzzahle n kritische Punkte, also unendlich viele

P1(\( \frac{(2n-1)π}{2} \); -1) und P2(n*2π; 0)

Ist das soweit richtig ? und wie kann man die Aufgabe fortsetzen?

liebe grüße,

Mauerblümchen

Answer 1

(1+e^y) = 0 hat keine Lösung, da e^y immer positiv ist.

P1(\( \frac{(2n-1)π}{2} \); -1) ist richtig. Das sind alle krit. Punkte.

Denn aus   e^y (cos(x) -1 -y) = 0  folgt wegen cos(x)=0 ja y = -1.

Jetzt musst du noch schauen, ob das alles Maxima sind.

Das geht mit den 2. Ableitungen.

Comments

Vielen dank, bin fertig und habs verstanden :)

---

z_x ist falsch

Answer 2

Hallo

dein z_x ist falsch die Ableitung von cos(x) ist -sin(x)

also hast du x=0+k*π

da e^y>0 für alle y ist 1+e^y nie 0.

dann hast du für k gerade y*e^y=0 also y=0 und für k ungerade  -2-y=0 y=-2

Jetzt die Hessematrix

siehe auch https://www.mathelounge.de/747476/funktion-unendlich-maximalstellen-minimalstellen-besitzt

da wurde das schon mal bearbeitet.

Gruß lul

Comments

Oh das wusste ich nicht, lustiger Zufall.

Muss wohl ein Kommilitone gewesen sein, der Dozent verteilt scheinbar ständig die gleiche Übungsklausur

Danke für die antwort und den Hinweis :)