Quadratische Funktionen: Anzahl der Nullstellen mit der ersten Scheitel Koordinate bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Funktion f mit f(x) = ax² + bx + c.

- Wenn a > 0 und f ( -b/2a) > 0, dann besitzt f keine Nullstelle.

- Wenn a > 0 und f ( -b/2a) < 0, dann besitzt f genau 2 Nullstellen.

Problem/Ansatz:

Wenn a > 0 ist, weiß ich, dass die Parabel nach oben offen ist, bin aber verwirrt, wie mir diese erste Koordinate des Scheitels ausdrücken soll, ob f Nullstellen besitzt. Hätte ich die zweite Koordinate des Scheitels (Diskriminante), denn wäre es für mich logisch.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen und mir einfach erklären, wie man hier vorgehen soll.

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Hätte ich die zweite Koordinate des Scheitels [dann] wäre es für mich logisch.

f ( -b/2a) ist die zweite Koordinate des Scheitels!

Answer 2

1.)

$$\text{Angenommen } a>0 \text{ und } f(-\frac{b}{2a})=-\frac{b^2}{4a}+c>0 \Rightarrow c>\frac{b^2}{4a} \text{.}$$

$$\text{Angenommen es gäbe reelle Nullstellen } x_1,x_2 \text{. }\\ \text{Diese ließen sich mit } x_{1/2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \text{ ermitteln.}$$

$$\text{Nach Voraussetzung gilt } c>\frac{b^2}{4a} \text{ und } a>0 \text{, also } 4ac>b^2 \text{.}\\\text{Damit ist } \sqrt{b^2-4ac} \text{ nicht reell definiert und es gibt keine reellen Nullstellen.}$$

2.)

$$\text{Analog wie oben, mit } a>0 \text{ und } c<\frac{b^2}{4a} \text{ folgt } 4ac<b^2 ,\\ \text{also ist } \sqrt{b^2-4ac} \text{ reell definiert und es existieren 2 reelle Nullstellen.}$$

Comments

Danke !!! Jetzt verstehe ich es !

Answer 3

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei x=-b/2a.

Das kannst du entweder mit der Scheitelpunktform oder mit der ersten Ableitung herausfinden.

a>0 bedeutet, dass die Parabel nach oben geöffnet ist.

Wenn f(-b/2a)>0 gilt, ist der y-Wert des Scheitelpunktes größer als Null, also liegt der tiefste Punkt der Parabel oberhalb der x-Achse. Daher kann es keine Nullstelle geben.

Im anderen Fall liegt der Scheitelpunkt unter der x-Achse. Die nach oben geöffnete Parabel schneidet die x-Achse deshalb zweimal.

Comments

! Jetzt weiß ich wie es funktioniert :)

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Gerne.

Danke für die Rückmeldung.

:-)

Answer 4

Gegeben

f(x) = ax^2 + bx + c

mein Vorschlag : setze den x-Wert des Scheitelpunkts ein
Ist der Funktionswert = 0 die ist nur eine Nullstelle
vorhanden : Berührpunkt

ist a > 0 => Parabel nach oben offen
Ist der berechnete Funktionswert auch > 0 dann
keine Nullstelle
Ist der berechnete Funktionswert < 0 dann
zwei Nullstellen.

Für a < 0 entsprechend formulieren.