Zeigen Sie, dass Kern(A) = Kern(AB) gilt.

Question

Vorab: Kernel im deutschen ist einfach der Kern einer Matrix.

Gegeben seien Matrizen A und B. Nehmen Sie an, dass $$Kernel(B) ∩ Bild(A) = {0}$$.

Zeigen Sie, dass $$Kernel(A) = Kernel(BA)$$ gilt. Nun also ich konnte bislang zeigen, dass Kernel(A) ⊆ Kernel(BA) ist, aber ich weiß nicht, wie ich bei Kernel(BA) ⊆ Kernel(A) argumentieren muss.

Der erste schritt wäre x∈Kernel(BA) und jetzt das ganze soweit transformieren, dass auch x∈Kernel(A) ist. Ich weiß, dass ich die Annahme von oben irgendwie benutzen muss, aber ich sehe es einfach nicht...

Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

die Bedingung lautet doch sicher \( Kern (B) \cap Bild(A)= \{0\}\)?

Wenn jetzt für ein \(x\) gilt \( x \in Kern(BA)\), dann ist \(Ax \in Kern(B)\) (weil \(BAx=0\)) und \(Ax \in Bild(A)\) (nach Definition des Bildes). Also folgt aus der Bedingung: \(Ax=0\), also \( x \in Kern(A)\)

Gruß

Answer 2

x∈Kernel(BA) ==>  (BA)*x=0 ==>  B*(Ax) = 0 ==>   Ax ∈Kernel(B)

Andereseits ist aber Ax ∈ Bild(A) .

Wegen Kern(B) ∩ Bild(A) = {0}, ist also   Ax = 0 ==>  x ∈Kernel(A).

umgekehrt:

Sei x ∈Kernel(A) ==>   Ax=0 ==>  B*(Ax) = 0

                                            ==>  BA*x = 0

                                        ==> x∈Kernel(BA)   q.e.d.