Residuum und Polstellen von (cos(pi*z))/(sin(pi*z))

Question

meine Frage ist, wie ich sehen kann, dass die Funktion

f(z):= (cos(pi*z))/(sin(pi*z)) in allen ganzen Zahlen eine einfache Polstelle hat. (Letzten Endes geht es darum, das Residuum zu berechnen). Nach der Definition hat f in z_0 eine Polstelle der Ordnung m, wenn die Funktion g(z):= (z-z_0)^m*f(z) in z_0 eine hebbare Singularität besitzt, ich denke aber , dass mir das hier nicht direkt weiterhilft. Habe dann versucht, die Reihendarstellungen von sin und cos einzusetzen, aber ehrlich gesagt ist mir schon nicht ganz klar, ob ich zwei Konvergente Reihen ohne weiteres durcheinander teilen darf. VIelleicht hat ja jemand von euch einen Tipp.

LG

Answer 1

HAT SICH MIT GRL ÜBERSCHNITTEN

Hallo,

Du kannst schon mit der von Dir angegebenen Charakterisierung von Polen arbeiten, mit \(m=1\):

$$z f(z)=\cos(\pi z) \frac{1}{\pi} \frac{\pi z}{\sin(\pi z}) \to \frac{1}{\pi} \qquad (z \to 0)$$

Dabei gehe ich davon aus, dass der Grenzwert \(\frac{w}{\sin(w)} \to 1\) bekannt ist.

Du kannst aber auch mit den Reihen arbeiten: Dabei kann der Faktor \(cos(\pi z)\) unbehandelt bleiben, weil er ja gegen 1 geht, also kein Problem verursacht:

$$f(z)=\frac{\cos(\pi z)}{\pi z -\frac{1}{3!} (\pi z)^3+\frac{1}{5!} (\pi z)^5 \ldots}=\frac{\cos(\pi z)}{\pi z[1 -\frac{1}{3!} (\pi z)^2+\frac{1}{5!} (\pi z)^4 \ldots]}$$

Also

$$f(z)=\frac{1}{\pi z} \frac{\cos(\pi z}{h(z)}$$

Wobei \(h\) eine holomorphe Funktion bezeichnet mit \(h(0)=1\).

Gruß

Comments

Vielen Dank, das hat mir mega geholfen ! Du bist nicht zufällig der MathePeter von YouTube ?

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Hallo,

bin ich nicht.

Answer 2

Der Nenner sin(π·z) ist für alle ganzen Zahlen z gleich 0.

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Genau, aber wie kann ich meine Definition darauf anwenden? Bzw., warum ist klar, dass es sich bei 0 nicht um eine wesentliche Singularität handelt?

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@ Roland: Wenn man auf den Kontext schaut, darf man wohl davon ausgehen, dass z hier eine komplexe Variable bezeichnet:

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Ja genau, das hatte ich vergessen :)

Answer 3

Hallo,

\( E s \) sei \( f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}, \) wobei \( g, h \) holomorph seien auf \( B_{r}\left(z_{0}\right) . \) Weiterhin sei \( g\left(z_{0}\right) \neq 0, h\left(z_{0}\right)=0 \) und

\( h^{\prime}\left(z_{0}\right) \neq 0 . \) Dann ist das Residuum von \( f \) in \( z_{0} \)
$$ \operatorname{res}_{z_{0}} f=\operatorname{res}_{z_{0}} \frac{g}{h}=\frac{g\left(z_{0}\right)}{h^{\prime}\left(z_{0}\right)} $$

\( \operatorname{Res}_{z=0}\left(\frac{\cos (\pi z)}{\sin (\pi z)}\right)=\frac{1}{\pi} \)

Der Nenner abgeleitet ergibt: π cos( π z)

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Danke für deine Antwort, klar die Berechnung ist kein Problem, aber meine Frage war ja eigentlich, warum klar ist, dass es sich bei allen ganzen Zahlen um eine Polstelle (einfach) und nicht um eine wesentliche Singularität handelt?