Aloha :)$$f'(t)=0,2\cdot\left(5,2-f(t)\right)=1,04-0,2f(t)$$Wir lösen zunächst die homogene Differentialgleichung:
$$\left.f'(t)=-0,2f(t)\quad\right|\quad:f(t)$$$$\left.\frac{f'(t)}{f(t)}=-0,2\quad\right|\quad\text{integrieren}$$$$\left.\ln\left|f(t)\right|=-0,2t+c_1\quad\right|\quad c_1=\text{const}\;;\;e^{\cdots}$$$$\left.f(t)=e^{-0,2t+c_1}=e^{-0,2t}\cdot e^{c_1}=c\,e^{-0,2t}\quad\right|\quad c:=e^{c_1}=\text{const}$$
Nun variieren wir die Konstante \(c\), um die allgemeine Differentialgleichung zu lösen. Sei also \(c=c(t)\) von der Zeit \(t\) abhängig, dann haben wir:$$\left.f'(t)=1,04-0,2f(t)\quad\right|\quad f(t)=c(t)\,e^{-0,2t}\text{ einsetzen}$$$$\left.c'(t)\,e^{-0,2t}-0,2\,c(t)e^{-0,2t}=1,04-0,2c(t)\,e^{-0,2t}\quad\right|\quad+0,2c(t)e^{-0,2t}$$$$\left.c'(t)\,e^{-0,2t}=1,04\quad\right|\quad\cdot e^{-0,2t}$$$$\left.c'(t)=1,04\,e^{0,2t}\quad\right|\quad\text{integrieren}$$$$\left.c(t)=\frac{1,04}{0,2}\,e^{0,2t}+c_2\quad\right|\quad c_2=\text{const}$$$$c(t)=5,2e^{0,2t}+c_2$$
Diese variierte Konstante setzen wir in die homogene Lösung von oben ein:$$f(t)=c\,e^{-0,2t}=\left(5,2e^{0,2t}+c_2\right)\,e^{-0,2t}=5,2+c_2e^{-0,2t}$$Die Konstante \(c_2\) folgt schließlich aus der Rahmenbedingung \(f(5)=3\):$$3=f(5)=5,2+c_2\,e^{-0,2\cdot5}=5,2+c_2e^{-1}=5,2+\frac{c_2}{e}\quad\Rightarrow$$$$c_2=(3-5,2)\cdot e\approx-5,9802$$Damit lautet die gesuchte Funktion:$$f(t)=5,2-5,9802\cdot e^{-0,2t}$$
