Aufgabe:
Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Sei f : V → V eine lineare Abbildung
mit f ◦ f = f.
Beweisen Sie: Ist f ≠ idV (das soll die Identitätsfunktion darstellen) , so ist f nicht injektiv
Problem/Ansatz:
Hallo. Ich habe eine andere Lösung, als in der Musterlösung steht, und wollte wissen, ob die richtig ist.
Sei f ≠ idV mit f ◦ f = f.
Angenommen f sei injektiv, dann ist f auf surjektiv, denn f ist eine Abbildung zwischen Vektorräumen gleicher Dimension (Dieser Satz stammt aus dem Skript und sollte verwendet werden dürfen. ). Damit ist f bijektiv und es gibt eine Funktion f-1 mit f ◦ f-1 = idV und f-1 ◦ f = idV.
Dann gilt:
f ◦ f-1 = f-1 ◦ f also gilt für ein x ∈ V
f(f-1(x)) = f-1(f(x))
f(f(f-1(x))) = f(f-1(f(x))) f angewendet.
f(f-1(x)) = f(x) wegen f ◦ f = f und f ◦ f-1 = idV
f-1(x) = x f-1 angewendet
x = f(x) f angewendet
Das ist ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung, dass f ≠ idV ist. Daher muss die Annahme, dass f injektiv ist falsch gewesen sein.