Beweisen Sie: Ist f ≠ idV so ist f nicht injektiv

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Sei f : V → V eine lineare Abbildung
mit f ◦ f = f.
Beweisen Sie: Ist f ≠ idV (das soll die Identitätsfunktion darstellen) , so ist f nicht injektiv

Problem/Ansatz:

Hallo. Ich habe eine andere Lösung, als in der Musterlösung steht, und wollte wissen, ob die richtig ist.

Sei f ≠ idV mit f ◦ f = f.

Angenommen f sei injektiv, dann ist f auf surjektiv, denn f ist eine Abbildung zwischen Vektorräumen gleicher Dimension (Dieser Satz stammt aus dem Skript und sollte verwendet werden dürfen. ). Damit ist f bijektiv und es gibt eine Funktion f^-1 mit f ◦ f^-1 = idV und f^-1 ◦ f = idV.

Dann gilt:

f ◦ f^-1 = f^-1 ◦ f  also gilt für ein x ∈ V

f(f^-1(x)) = f^-1(f(x))

f(f(f^-1(x))) = f(f^-1(f(x)))     f angewendet.

f(f^-1(x)) = f(x) wegen f ◦ f = f und f ◦ f^-1  = idV

f^-1(x) = x      f^-1 angewendet

x = f(x)       f angewendet

Das ist ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung, dass f ≠ idV ist. Daher muss die Annahme, dass f injektiv ist falsch gewesen sein.

Answer 1

"Injektiv \(\implies\) Bijektiv" für lineare Abbildungen \(V\to V\) gilt nur auf endlichdimensionalen Vektorräumen. An sich sieht der Beweis stimmig aus (wenn du ein Inverses hast natürlich), aber im Kern benutzt du eigentlich nur folgende Rechnung und kannst dir damit das ganze Rumgerechne mit dem (nicht immer existierenden) Inversen sparen:

Wenn \(f\neq \mathrm{id}\), dann existiert ein \(x\in V\) mit \(x':=f(x)\neq x\). Das sind jetzt also zwei Elemente aus \(V\) und ich behaupte einfach, dass \(f(x)=f(x')\), was die Injektivität widerlegt. Diese Behauptung schreibt sich einfach nur aus zu \(f(x')=f(f(x))=f(x)\), was nach Voraussetzung immer gilt, damit bist du fertig.

Comments

Warum beweist f(x)=f(x') die Injektivität?

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Es widerlegt sie.

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Ich hab dazu noch eine dumme Frage. Gilt das auch, wenn der Vektorraum nur ein Element hat? Wie soll man dann ein x' ungleich x finden?

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Das ist eine gute Frage! Die Voraussetzung \(f\neq \mathrm{id}\) wird hier nie erfüllt, da die einzige Abbildung \(f:0\to 0\) die Identität ist.

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Ah stimmt. Vielen Dank.

Answer 2

So geht es auch. Allerdings sollte es statt

also gilt für ein x ∈ V

also gilt für JEDES x ∈ V.

Comments

So geht es auch. ??

Allerdings doch wohl nur dann, wenn überprüft wurde, ob die Voraussetzungen des Satzes aus dem Skript hier überhaupt vorliegen.

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Ja stimmt klar.

Answer 3

Angenommen f sei injektiv, dann ist f auf surjektiv, denn f ist eine Abbildung zwischen Vektorräumen gleicher Dimension (Dieser Satz stammt aus dem Skript und sollte verwendet werden dürfen. ). Damit ist f bijektiv

Du hast zwar ein Endomorphismuss gegeben, womit Definitions -und Zielmenge diesselbe Dimension haben, aber V ist hier nicht allgemein endlichdimensional.

Du kannst es auch per Kontraposition zeigen:

Sei \(f\) injektiv, d.h., es gilt für alle \(x,y\in V\) mit \(f(x)=f(y)\) auch \(x=y\). Weiter ist nun \(x=x-f(y)+f(y)\), womit auch \(f(x)=f(x-f(y)+f(y))\\=f(x-f(y))+f(f(y))=f(x-f(x))+f(y)=f(x-f(x))+f(x)\)

folgt, bzw. auch

\(0=f(x-f(x))\) gilt. Da \(f\) injektiv ist, ist auch Ker\((f)\)\(=\{0_V\}\), d.h., es ist \(0=x-f(x)\), bzw., \(f(x)=x\). Da \(x,y\in V\) beliebig waren, folgt nun \(f=id_V\).