Schrägbild und Seitenmittelpunkte

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein Raumviereck durch die Eckpunkte A(4|0|0), B(4|3|1), C(0|3|4) und D(4|0|3).

a)Zeichnen sie ein Schrägbild des Vierecks. b)Zeigen sie, dass die Seitenmittelpunkte des Vierecks ABCD ein Parallelogramm bilden.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist es, dass ich zum einen nicht ein Viereck bekomme (beim Zeichnen) und zum anderen keine Vorstellungen von Aufgaben b) habe.

Vielleicht kann mir jemand helfen.

LG

Answer 1

Prüf mal bitte die Koordinaten der Punkte. Das sieht komisch aus.

Ok. Die Punkte sollen wohl so richtig sein. Das ist halt ein Raumviereck.

Die Seitenmitten sind dann

MAB = [4, 1.5, 0.5]
MBC = [2, 3, 2.5]
MCD = [2, 1.5, 3.5]
MAD = [4, 0, 1.5]

MAB_MBC = [-2, 1.5, 2]
MCD_MAD = [2, -1.5, -2]

MBC_MCD = [0, -1.5, 1]

Gegenüberliegende Seiten sind parallel und Gleich lang. Eine weitere Seite ist nicht parallel und damit hat man ein Parallelogramm.

Die normale Schrägbildzeichnung ist etwas trügerisch, weil man nicht erkennt das es sich nicht um ein ebenes Viereck handelt.

Comments

Koordinaten stimmen.

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Ja das hatte ich mir schon gedacht. Ich habe meine Rechnung noch etwas vervollständigt.

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MAB_MBC = [-2, 1.5, 2]
MCD_MAD = [2, -1.5, -2]

MBC_MCD = [0, -1.5, 1]

Sind MAB_MBC und MCD_MAD parallel zueinander obwohl sich die Werte durch die verschiedenen Vorzeichen nicht gleichen?
Und hat MBC_MCD auch noch ein Partner bzw. wieso ist eine andere Seite nicht Parallel und man hat ein Parallelogramm?

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Sind MAB_MBC und MCD_MAD parallel zueinander obwohl sich die Werte durch die verschiedenen Vorzeichen nicht gleichen?

Ja. Zwei Vektoren sind parallel wenn sie linear Abhängig sind. Wenn also z.B. der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist. Und das -1-fache zählt auch dazu.

Und hat MBC_MCD auch noch ein Partner bzw. wieso ist eine andere Seite nicht Parallel und man hat ein Parallelogramm?

Wenn MBC_MCD jetzt auch noch linear abhängig gewesen wäre. Also alle Punkte auf einer Geraden liegen, dann wäre es ja kein Parallelogramm.

MAB_MAD sollte parallel zu MBC_MCD liegen. Das braucht man aber nicht prüfen. Das muss so sein.

Answer 2

b)Zeigen sie, dass die Seitenmittelpunkte des Vierecks ABCD ein Parallelogramm bilden.

Seien R, S, T und U die Seitenmittelpunkte.

Nach der Umkehrung eines Strahlensatzes sind BD und ST parallel und ebenfalls BD und RU. Dann sind auch ST und RU parallel. Mit der gleichen Argumentations sind auch UT und RS parallel.