Wie berechne ich die orthogonale Projektion komplexer Vektoren?

Question

Gegeben sei eine orthonormale Basis (u1,.., un) n ≥ 7 und komplexe Vektoren x := 3u2+iu4-2u6+(3-2i)u7 und y:= -4u1+(-2+3i)u2+2iu4-7u5+u7. Sei U:=Span(u1,u2,u4).

a) Berechnen Sie die orthogonale Projektion p von x auf U.

Also wir wissen, dass p=au1+bu2+cu4, a,b,c∈R.

Da es sich um eine orthonormale Basis handelt, ist a=<x,u1>, b=<x,u2> und c=<x,u4> <=> a=0, b=3, c=i.

Also müsste die orthogonale Projektion von x auf U folgendermaßen lauten: p= 3u2+iu4. Falls es nicht stimmt, wie würde die orthogonale Projektion sonst aussehen?

b) Berechnen Sie die orthogonale Projektion p von y auf  das Komplement von U.

Hier komme ich leider gar nicht weiter, da ich nicht genau weiß, wie ich die orthonormale Basis für das Komplement von U finde bzw. berechne.

Ich bedanke mich für eure Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Auf einen Vektor wird projeziert, indem mit seinem Einheitsvektor skalar multipliziert wird. Du sollst die Projektion$$\text{von}\quad\vec x=\begin{pmatrix}0\\3\\0\\i\\0\\-2\\3-2i\end{pmatrix}\quad\text{auf}\quad\vec u=\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\quad\text{berechnen:}$$$$\langle \vec u;\vec x\rangle=\vec u^{\ast}\cdot\vec x=\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\3\\0\\i\\0\\-2\\3-2i\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt3}\left(3+i\right)$$Beachte insbesondere, dass die orthogonale Projektion je nach Definition ein Skalar oder ein Vektor sein kann. Falls ihr sie als Vektor definiert habt, musst du dem Ergebnis wieder die Richtung von \(\vec u\) geben:$$\langle \vec u;\vec x\rangle\cdot\vec u=\frac{1}{\sqrt3}{(3+i)}\cdot\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{3+i}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$