Sind die folgenden Funktionen stetig in allen Punkten?

Question

Aufgabe:

Sind die folgenden Funktionen stetig in allen Punkten? Wie kommt mein Dozent auf diese Lösung?

Problem/Ansatz:

\(e^x\) für \(x \geq 0\)
\(-4x+1\) für \(-1 < x < 0\)
\(x^2+1\) für \(x \leq -1\)

\( x=-1 \) ist \( f(x)=f(-1)=(-1)^{2}+1=2 \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow-1}-4 x+1=-4 \cdot(-1)+1=5 \)

Answer 1

Für x=-1 muss der untere Term genommen werden. Darum ist f(-1)=2.

Der mittlere Term darf eigentlich nicht für x=-1 verwendet werden, da er für -1<x<0 definiert ist.

Darum muss hier der Grenzwert gebildet werden, den man aber ganz einfach berechnen kann, indem man doch -1 in den Term einsetzt.