Berechnen Sie den Erwartungswert der Auszahlung ( Stochastik, zwei Glücksräder)

Question

Aufgaben: ich bräuchte bitte einmal Hilfe bei einer Aufgabe. Ich bin dermaßen verwirrt, dass ich nicht weiterkomme.

Aufgabenstellung:

Zwei Glücksräder mit je drei gleich großen Feldern 1€, 2€ und 4€ werden gleichzeitig gedreht. Ausgezahlt wird der größere der beiden Beträge. Der Einsatz beträgt 2,50€.

a) Berechnen Sie den Erwartungswert der Auszahlung.

b) Geben Sie den langfristig zu erwartenden durchschnittlichen Gewinn für den Spieler an. Erläutern Sie warum das Spiel nicht fair ist.

c) Bestimmen Sie, bei welchem Einsatz das Spiel fair wäre.

Problem/Ansatz:

Ich habe schon einiges ausprobiert, doch leider komme ich nicht zum Ergebnis. Teilaufgabe c) und den zweiten Satz von b) könnte ich lösen. Dazu müsste ich aber erst zum Ergebnis von a) und b) kommen. Ich habe bei a) zuerst 0,77 rausbekommen. Dann 2,20 €. .

Answer 1

Hallo Anast,

	1	2	4
1	1	2	4
2	2	2	4
4	4	4	4

Es gibt 9 Möglichkeiten.

P(1€)=1/9

P(2€)=3/9

P(4€)=5/9

E(X)=1€*1/9+2€*3/9+4€*5/9=27€/9=3€

Bei einem Einsatz von 2,50€ gewinnt der Spieler auf Dauer durchschnittlich 0,50€.

:-)

Comments

b) Erläutern Sie warum das Spiel nicht fair ist.

Weil der Spieler mehr Ausgezahlt bekommt als er einsetzt. Das Spiel wäre fair wenn die Auszahlung auf lange Sicht gleich dem Einsatz ist, wenn also auf lange Sicht kein Gewinn/Verlust zu erwarten ist.

c) Bestimmen Sie, bei welchem Einsatz das Spiel fair wäre.

Da 3 Euro im Mittel ausgezahlt werden, wäre das Spiel bei einem Einsatz von 3 Euro fair.

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Hallo

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Jetzt weiß ich auch wo mein Fehler war. Ich habe z.B. die Wahrscheinlichkeit P(1,1) nicht als Gewinn gewertet.

Dankeschön. Sie haben mir sehr geholfen.

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Es wird doch m.E. nur ausgezahlt, wenn verschiedene Beträge erscheinen.

Bei gleichen Beträgen gewinnt man nichts.

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Es wird doch m.E. nur ausgezahlt, wenn verschiedene Beträge erscheinen. Bei gleichen Beträgen gewinnt man nichts.

Das ist wohl eine Definitionssache. Was ist MAX(x, y) wenn x und y gleich sind?

Ich würde wie MontyPython denken wenn zwei gleiche Eurowerte erscheinen wird dieser ausgezahlt.

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Ausgezahlt wird der größere der beiden Beträge.

Ist das nicht eindeutig? Wenn es keinen größeren gibt, wird nichts ausbezahlt.
Außerdem: Wer bietet ein Spiel an, wo der Gegner im Vorteil wäre?

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Wenn bei gleichen Zahlen nichts ausbezahlt wird, stehen auf der Diagonalen Nullen.

Dann wäre der Erwartungswert

0*3/9+2*2/9+4*4/9=20/9

Das sind gerundet 2,22€.

Dann hätte der Spieler langfristig keinen Gewinn, sondern 0,28€ Verlust.

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Nur so kann der Spielanbieter davon leben. :)

Der Spieler ist bekanntlich langfristig immer der Verlierer und muss es

auch sein. Sonst würden z.B. alle Spielhallen schnell dichtmachen.

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Ich erinnere mich an die folgende Aufgabe

Beim Wurf zweier Würfel sei die Zufallsgröße X die kleinere der beiden Augenzahlen.

Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsgröße X an.

Ich denke diese Aufgabe findest du recht häufig im Internet.

Nun ist hier nicht genau definiert was denn passiert, wenn die Augenzahlen gleich sind. In diesem Fall wird meist die gemeinsame Augenzahl gewertet. Analog zu MIN(x, y).

Natürlich finde ich solche Aufgabenstellungen ungenügend. Es sollten in der Beschreibung möglichst alle Auftretenden Ereignisse abgedeckt werden.

Das erwähne ich auch immer wieder bei anderen Aufgaben. Es 5 Gummibärchen aus einer Tüte (Tüteninhalt angegeben) gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit das 3 rote Gummibärchen gezogen werden. Ist damit jetzt gefragt das genau 3 Gummibärchen gezogen werden oder das auch mehr gezogen werden können.

Mathematisch hat man auch 3 rote gezogen wenn man 4 rote gezogen hat. Umgangssprachlich wird aber keiner sagen er hat 3 rote gezogen wenn er 4 rote gezogen hat.

Mathematisch ist das Maximum (der größere) zweier Werte definiert als

MAX(x, y) = x wenn x ≥ y sonst y

Ausgezahlt wird "der größere der beiden Beträge"

Ausgezahlt wird MAX(x, y).

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Anzuführen das der Spieler bei Glücksspielen immer verlieren muss kann nicht legetim sein, denn wir wissen nicht aus welchen Gründen dieses Glücksspiel angeboten wird.

Aus Werbegründen kann man natürlich auch Glücksspiele anbieten die für den Anbieter unlukrativ erscheinen.

Ich erinnere mich an diverse Messen wo man ohne einen Einsatz zu bezahlen ein Glücksrad drehen durfte und da gab es sogar teilweise Reisen zu gewinnen. So hatte ich mal eine 7-Tage Reise nach Sylt gewonnen.

Ok. Das war jetzt keine 14 Tägige Reise nach Haiti aber doch deutlich über dem Einsatz von 0.

In diesem Fall hat man sogar einen Reisegutschein bekommen und musste nicht im Voraus für die Teilnahme mit seiner Adresse bezahlen. Insofern war der Einsatz wirklich 0.

Normal ist es bei Glücksspielen ja auch so das je größer eine Auszahlung ist desto geringer ist meist die Chance diese Auszahlung zu erreichen. Das scheint bei diesem Glücksspiel ja auch nicht wirklich zuzutreffen.